4福井大学 2023年 数学 第4問解答・解説

$$\displaystyle \text{辺長 }a=2\sqrt2,\quad G=(-\frac13,-\frac13,-\frac13),\quad h=a\sqrt{\frac23}=\frac4{\sqrt3}.\\P=G\pm\frac43(1,1,1),\quad P=(1,1,1),\;(-\frac53,-\frac53,-\frac53).\\R_{\rm circ}=\frac{a\sqrt6}{4}=\sqrt3.\\V=\int_0^h\pi\left[\left(\frac{2\sqrt6}{3}\frac zh\right)^2-\left(\frac{\sqrt6}{3}\frac zh\right)^2\right]dz=\frac{2\pi h}{3}=\frac{8\pi}{3\sqrt3}.$$

底面QRSの各辺長は$2\sqrt2$、重心$\displaystyle G=(-\frac13,-\frac13,-\frac13)$、底面の平面は$x+y+z=-1$、単位法線は$\displaystyle \pm\frac{1}{\sqrt3}(1,1,1)$。正四面体の高さは$\displaystyle a\sqrt{\frac23}=\frac4{\sqrt3}$なので、Gから法線方向に$\displaystyle \pm\frac43(1,1,1)$だけ移動した点がPであり、2解は$\displaystyle (1,1,1),\ (-\frac53,-\frac53,-\frac53)$。外接球半径は辺長$a=2\sqrt2$に対して$\displaystyle a\frac{\sqrt6}{4}=\sqrt3$。回転軸PTは底面重心を通る底面法線。頂点Pから軸方向に底面まで距離z進んだ水平断面で、面PQRの線分を回すと環状領域になる。相似比$\displaystyle t=\frac zh$（$\displaystyle h=\frac4{\sqrt3}$）として外半径は底面外接半径$\displaystyle t\cdot\frac{2\sqrt6}{3}$、内半径は底面内接半径$\displaystyle t\cdot\frac{\sqrt6}{3}$。断面積は$\displaystyle \pi t^2(\frac83-\frac23)=2\pi(\frac zh)^2$。積分すると体積$\displaystyle \int_0^h2\pi(\frac zh)^2\,dz=\frac{2\pi h}{3}=\frac{8\pi}{3\sqrt3}$。