1岡山大学 2022年 数学 第1問解答・解説

$q=1-p$ とおき、第1試合の勝者を $X$、敗者を $Y$ とする。 (1) 1試合では2連勝はできないので $a_1=0$。第2試合で $X$ が $C$ に勝てば優勝するので $a_2=q$。第3試合で決まるのは、$C$ が $X,Y$ に連勝する場合で $a_3=p^2$。第4試合で決まるのは、勝者が順に $X,C,Y,Y$ となる場合だから $$\boxed{a_1=0,\quad a_2=1-p,\quad a_3=p^2,\quad a_4=p(1-p)/2}.$$ (2) 優勝者が決まらず続くには、直前の勝者が次の試合で負けなければならない。従って第2試合以後の勝者は $C,Y,X,C,Y,X,\ldots$ と定まる。3試合ごとに同じ状態へ戻り、その継続確率は $pq/2$ である。第 $3k$ 試合で $C$ が2連勝を完成する確率は $$\displaystyle \boxed{a_{3k}=p^2\left(\frac{pq}{2}\right)^{k-1} =p^{k+1}\left(\frac{1-p}{2}\right)^{k-1}}.$$ (3) $C$ の優勝は第 $3k$ 試合でのみ起こる。これらは互いに排反であり、$0<pq/2<1$ だから $$\displaystyle \boxed{P(C\text{ が優勝})=\sum\limits _{k=1}^\infty a_{3k} =\frac{p^2}{1-p(1-p)/2}}.$$ (4) この確率が $1/3$ 以上となる条件は、正の分母を払って $$5p^2+p-2\ge0.$$ 左辺は $p>0$ で増加する。$p=54/100$ の値は $-1/500<0$、$p=55/100$ の値は $1/16>0$。従って $\displaystyle \boxed{N_{\min}=55}$。