2岡山大学 2022年 数学 第2問解答・解説

(1) $y=x^3+2x^2+2+a(x^2+2x)$ と変形する。$a$の値によらず通る点では、$a$の係数が0であるから、$x^2+2x=x(x+2)=0$、すなわち$x=0,-2$。いずれも$y=x^3+2x^2+2=2$となる。よって定点は$(-2,2),(0,2)$。

(2) 直線$L$は$y=2$である。曲線$C$との交点の$x$座標は$x^3+(a+2)x^2+2ax=0$、すなわち$x(x+2)(x+a)=0$の解である。$-2,0,-a$が異なる3数で、かついずれも$-2\le x\le0$を満たす条件は、$0\leq a\leq2$かつ$a\neq0,2$である。したがって$0<a<2$。

(3) $g(x)=x(x+2)(x+a)$とおく。$0<a<2$より$-2<-a<0$であり、$g(x)$は$-2<x<-a$で正、$-a<x<0$で負である。原始関数を$\displaystyle F(x)=\frac{x^4}{4}+\frac{a+2}{3}x^3+ax^2$とすると、$F(0)=0$、$\displaystyle F(-a)=\frac{a^3(4-a)}{12}$、$\displaystyle F(-2)=\frac{4(a-1)}{3}$。よって$$\displaystyle S(a)=\int_{-2}^{-a}g(x)\,dx-\int_{-a}^{0}g(x)\,dx=2F(-a)-F(-2)=\frac{-a^4+4a^3-8a+8}{6}.$$さらに$$\displaystyle S(a)-\frac12=\frac{(a-1)^2(5+2a-a^2)}{6}=\frac{(a-1)^2\{6-(a-1)^2\}}{6}\geq0$$である。ここで$0<a<2$より$|a-1|<1$なので$6-(a-1)^2>0$。等号は$a=1$のとき成立する。したがって最小値は$\displaystyle \frac12$である。