4奈良県立医科大学 2023年 数学 第4問解答・解説

位置が4のとき、次に5へ進むのは5または6の目が出た場合なので確率は$1/3$、3へ戻る確率は$2/3$である。位置5から6へ進む確率は$1/6$である。したがって2回で終了するのは$4\to5\to6$の場合だけで、その確率は$(1/3)(1/6)=1/18$。

位置2から2回振って終了するのは$2\to1\to0$だけであり、その確率も$(1/3)(1/6)=1/18$である。位置4からは対称に$4\to5\to6$だけなので同じ確率である。よって$P_n=(1/18)(a_{n-1}+b_{n-1})$、イは$1/18$。

2回後に位置2へ戻る確率を位置2から計算する。$2\to1\to2$の確率は$(1/3)(5/6)=5/18$、$2\to3\to2$の確率は$(2/3)(1/2)=1/3$であるから、合計は$11/18$。位置2から位置4へ移るには$2\to3\to4$となる必要があり、その確率は$(2/3)(1/2)=1/3$。位置4については対称で、位置4から位置2への確率が$1/3$、位置4へ戻る確率が$11/18$である。したがって$$\displaystyle a_{k+1}=\frac{11}{18}a_k+\frac13b_k,\qquad b_{k+1}=\frac13a_k+\frac{11}{18}b_k,$$となり、$\displaystyle a_{k+1}+b_{k+1}=\frac{17}{18}(a_k+b_k)$。初めは$a_0=0,b_0=1$なので$a_0+b_0=1$。よって$a_k+b_k=(17/18)^k$であり、$$\displaystyle P_n=\frac1{18}\left(\frac{17}{18}\right)^{n-1}$$を得る。