5奈良県立医科大学 2023年 数学 第5問解答・解説

(1) (ア)を証明する。任意の格子点$P(x,y,z)$をとる。$$s=y-z,\qquad t=x-y+z,\qquad u=y-x$$とおけば、$x,y,z$が整数なので$s,t,u$も整数である。また、$$s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}+u\overrightarrow{\mathrm{OC}}=(s+t,\ s+t+u,\ t+u)=(x,y,z)=\overrightarrow{\mathrm{OP}}.$$よってどの格子点$P$に対しても条件を満たす整数$s,t,u$が存在し、命題$(K)$は真である。

(2) $B,C$も格子点なので$b,c$は整数である。整数係数$s,t,u$による点の座標は$$(s+bt,\ s+t,\ cu)$$である。まず$P(1,0,0)$を表すと、第一座標と第二座標の差から$(b-1)t=1$となる。整数$b,t$についてこれが成り立つには$b-1=1,t=1$または$b-1=-1,t=-1$であるから$b=2$または$b=0$。また$P(0,0,1)$を表すと$cu=1$となるので、整数$c,u$について$c=1$または$c=-1$である。

逆に、$b=0$なら任意の整数$x,y,z$に対し$s=x,t=y-x,u=z/c$とすれば$(s+bt,s+t,cu)=(x,y,z)$である。$b=2$なら$s=2y-x,t=x-y,u=z/c$とすれば同じく$(s+2t,s+t,cu)=(x,y,z)$となる。$c=1$または$-1$なので$u=z/c$はいずれも整数である。したがって4組$(b,c)=(0,1),(0,-1),(2,1),(2,-1)$のそれぞれで命題$(K)$は真となる。