2熊本大学 2015年 数学 第2問解答・解説

$\overrightarrow{AB}=(q-1,1-p,1)$、$\overrightarrow{AC}=(-2,-1-p,r)$ とおく。$A,B,C$ が一直線上にあるので、ある実数 $\lambda$ に対して $\overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{AB}$ である。

(問1) $p=1$ とすると、$y$ 成分について $-2=\lambda\cdot0$ となり矛盾する。$p=-1$ とすると、$y$ 成分から $0=2\lambda$ より $\lambda=0$ だが、$x$ 成分は $-2=\lambda(q-1)=0$ となり矛盾する。よって $p\ne1,-1$ である。

(問2) $y$ 成分と $z$ 成分を比較すると、$$-1-p=\lambda(1-p),\qquad r=\lambda.$$ $p\ne1$ より $$\displaystyle \lambda=\frac{-1-p}{1-p}=\frac{p+1}{p-1},\qquad r=\frac{p+1}{p-1}.$$ また、$x$ 成分から $-2=\lambda(q-1)$ である。$p\ne-1$ なので $\lambda\ne0$ であり、$$\displaystyle q=1-\frac{2}{\lambda}=1-\frac{2(p-1)}{p+1}=\frac{3-p}{p+1}.$$

(問3) (問2)より $$\displaystyle \overrightarrow{AB}=\left(\frac{2(1-p)}{p+1},1-p,1\right).$$ 各垂直条件を内積で表すと、$$\displaystyle \begin{aligned}\overrightarrow{OA'}\cdot\overrightarrow{AB}=0&\quad\text{の必要十分条件は}\quad \frac{2(1-p)}{p+1}+p'(1-p)=0,\\\overrightarrow{OB'}\cdot\overrightarrow{AB}=0&\quad\text{の必要十分条件は}\quad \frac{2(1-p)}{p+1}q'+(1-p)+1=0,\\\overrightarrow{OC'}\cdot\overrightarrow{AB}=0&\quad\text{の必要十分条件は}\quad -\frac{2(1-p)}{p+1}-(1-p)+r'=0.\end{aligned}$$ $p\ne1,-1$ に注意して解くと、$$\displaystyle p'=-\frac{2}{p+1},\qquad q'=-\frac{(2-p)(p+1)}{2(1-p)}=\frac{(p+1)(p-2)}{2(1-p)},\qquad r'=\frac{2(1-p)}{p+1}+(1-p)=\frac{(1-p)(p+3)}{p+1}.$$

(問4) $A',B',C'$ が一直線上にあると仮定する。$$\overrightarrow{OC'}-\overrightarrow{OA'}=s(\overrightarrow{OB'}-\overrightarrow{OA'})$$ とおくと、$z$ 成分から $s=r'$ である。したがって、$y$ 成分について $-1-p'=r'(1-p')$ となる。ところが、(問3)の結果から $$\displaystyle -1-p'=\frac{1-p}{p+1},\qquad r'(1-p')=\frac{(1-p)(p+3)^2}{(p+1)^2}.$$ $p\ne1,-1$ より $\displaystyle \frac{1-p}{p+1}\ne0$ なので、これらが等しいなら $$\displaystyle p+1=(p+3)^2\quad\text{すなわち}\quad 0=p^2+5p+8=\left(p+\frac52\right)^2+\frac74.$$ となる。しかし右辺は正であり矛盾する。よって $A',B',C'$ は一直線上にない。