3熊本大学 2015年 数学 第3問解答・解説

$BC$ を $x$ 軸とし、$X_1=(0,0)$、$A=(0,1)$、$B=(-a,0)$、$C=(b,0)$ とおく。$X_n=(x_n,0)$ とする。$X_1$ は垂足で $AX_1=1$ だから、この座標の取り方でよい。

辺 $AC$ の傾きは $-1/b$ なので、$X_n$ を通る平行線は $y=-(x-x_n)/b$。辺 $AB$ は $y=1+x/a$ である。交点 $Y_n$ の座標は $$\displaystyle x_{Y_n}=\frac{a(x_n-b)}{a+b},\qquad y_{Y_n}=\frac{a+x_n}{a+b}.$$ $Y_n$ を通る水平線が $AC$ と交わる $Z_n$ は、高さが $y_{Y_n}$ であり、$AC$ の式 $y=1-x/b$ から $$\displaystyle l_n=Z_nX_{n+1}=y_{Y_n}=\frac{a+x_n}{a+b},\qquad x_{n+1}=x_{Z_n}=\frac{b(b-x_n)}{a+b}.$$ 特に $x_1=0$ より $l_1=a/(a+b)$。また $x_n=(a+b)l_n-a$ を代入すると $$\displaystyle x_{n+1}=b(1-l_n),\qquad \boxed{l_{n+1}=1-\frac{b}{a+b}l_n}.$$ $x_1=0$ であり、$0\le x_n\le b$ なら $0\le x_{n+1}\le b^2/(a+b)<b$。さらに $0<y_{Y_n}=(a+x_n)/(a+b)\leq1$ なので $Y_n,Z_n$ は各辺上にあり、構成は以後も定義される。

$r=b/(a+b)$ とおけば $0<r<1$、$l_1=1-r$ である。漸化式の定数解は $1/(1+r)$ なので $$\displaystyle l_n=\frac1{1+r}+(-r)^{n-1}\left(1-r-\frac1{1+r}\right) =\frac{1+(-1)^n r^{n+1}}{1+r}.$$

(問3) $b=8a$ なら $r=8/9$。奇数 $n$ に対し $m=n+1$ は偶数で、 $$\displaystyle l_n>\frac12\text{すなわち} \left(\frac89\right)^m<\frac1{18} \text{すなわち} \left(\frac98\right)^m>18.$$ $L=\log_2 9$ とおくと、これは $$\displaystyle m>R:=\frac{1+L}{L-3}$$ と同値。与えられた $3.169<L<3.17$ から、$L<3.17$ により $R>24$（$73>23L$）、$L>3.169$ により $R<25$（$24L>76$）。従って $24<R<25$ である。$m$ は偶数なので、条件を満たす最小の $m$ は26。したがって $$\boxed{n=25}.$$