1熊本大学 2015年 数学 第1問解答・解説

辺の長さは正であり、$a+b+c=1$、$\displaystyle ab=\frac19$ である。　 (問1) 三角形の三角不等式から $$a<b+c=1-a,\qquad b<a+c=1-b$$ なので$\displaystyle a<\frac12$、$\displaystyle b<\frac12$ である。また$\displaystyle ab=\frac19$ より、$\displaystyle b<\frac12$ は$\displaystyle a>\frac29$ を意味する。したがって$\displaystyle \frac29<a<\frac12$。　 逆に、この範囲の任意の$a$ に対して$\displaystyle b=\frac{1}{9a}$、$c=1-a-b$ とおくと、$\displaystyle a<\frac12$ および$\displaystyle a>\frac29$ から$\displaystyle 0<b<\frac12$ である。ゆえに$c=1-a-b>0$。さらに$(a-b)^2\geq0$ より$\displaystyle a+b\geq2\sqrt{ab}=\frac23>\frac12$ だから$c<a+b$ であり、$\displaystyle a,b<\frac12$ から$a<b+c$、$b<a+c$ も成り立つ。よってこの範囲のすべての$a$ が実際に三角形を与える。　 (問2)$s=a+b$ とおくと$c=1-s$ である。余弦定理より $$\displaystyle \cos\theta=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{a^2+b^2-(1-s)^2}{2/9}=9s-\frac{11}{2}.$$ ここで$(a-b)^2\geq0$ より$\displaystyle s^2\geq4ab=\frac49$ で、$s>0$ だから$\displaystyle s\geq\frac23$。等号は$\displaystyle a=b=\frac13$ のときに成り立つ。一方、問1の範囲と$\displaystyle b=\frac{1}{9a}$ から $$\displaystyle s-\frac{13}{18}=a+\frac{1}{9a}-\frac{13}{18}=\frac{18a^2-13a+2}{18a}=\frac{18(a-\frac12)(a-\frac29)}{18a}<0,$$ したがって$\displaystyle s<\frac{13}{18}$ である。さらに$\displaystyle \frac13\leq a<\frac12$ では$\displaystyle g(a)=a+\frac{1}{9a}$ は連続であり、$\displaystyle \frac13\leq x<y<\frac12$ に対し $$\displaystyle g(y)-g(x)=(y-x)\left(1-\frac{1}{9xy}\right)>0$$ なので、aが大きくなるとg(a)は必ず大きくなる。$\displaystyle g(\frac13)=\frac23$、$\displaystyle \lim\limits _{a\to\frac12-}g(a)=\frac{13}{18}$ であるから、その値域は$\displaystyle \frac23\leq s<\frac{13}{18}$ であり、問1で示したように各値は三角形で実現する。よって$\displaystyle 9s-\frac{11}{2}=\cos\theta$ の値域は$\displaystyle \frac12\leq\cos\theta<1$ となる。