3大阪大学 2025年 数学 第3問解答・解説

点検済み解説

最大値 $\displaystyle \frac94$（$\displaystyle P=(\frac12,\frac12,0)$）、最小値 $\displaystyle 1-\sqrt{\frac23}$（$\displaystyle P=(-\sqrt{\frac23},0,0)$）。

$\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AP}=2-y$、$|AO|=\sqrt2$、$|AP|=\sqrt{x^2+(y-1)^2+1}$。$\displaystyle \cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$ を用いる。$t=y+1$ と置くと、角条件を2乗して $t^2+3x^2=3$ となる。$y\ge0$ から $t\ge1$ で、式から $t\le\sqrt3$ なので元の正符号条件も満たす。

$u=x+1$ とすれば $\displaystyle u\ge1-\sqrt{\frac23}>0$、$t^2=3u(2-u)$、目的値 $F=ut>0$。恒等式 $\displaystyle \frac{27}{16}-u^3(2-u)=(u-\frac32)^2(u^2+u+\frac34)\ge0$ より $\displaystyle F\le\frac94$ で、$\displaystyle u=\frac32$、$\displaystyle t=\frac32$（$\displaystyle P=(\frac12,\frac12,0)$）で達成する。

一方、$t\ge1$ より $\displaystyle F=ut\ge u\ge1-\sqrt{\frac23}$。$\displaystyle u=1-\sqrt{\frac23}$、$t=1$（$\displaystyle P=(-\sqrt{\frac23},0,0)$）で等号となる。