2昭和大学 2024年 数学 第2問解答・解説

$$\displaystyle \text{立方体の底面を }xy\text{ 平面とし、}\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC}\text{ を単位方向にとる。}\ x=\tan\alpha,\ y=\tan\beta\text{ とおくと、}\ P=(1,0,x),\ R=(0,1,y)\text{ である。平面 }OPR\text{ 上の点の高さは }z=xX+yY\text{ となるから、}Q=(1,1,x+y)\text{ である。}\quad \text{(1)}\quad \overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OR}=xy,\quad |OP|=\sqrt{1+x^2},\quad |OR|=\sqrt{1+y^2}\text{ より、}\cos\gamma=\frac{xy}{\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}}.\quad \text{(2)}\quad \text{切断面を }\triangle OPQ\text{ と }\triangle ORQ\text{ に分ける。}\triangle OPQ\text{ で }\overrightarrow{PO}=(-1,0,-x),\ \overrightarrow{PQ}=(0,1,y)\text{ だから、両者の内積は }-xy\text{ であり、辺の長さは }\sqrt{1+x^2},\sqrt{1+y^2}\text{ である。内積と三角形の面積公式から、}\operatorname{Area}(OPQ)=\frac12\sqrt{1+x^2+y^2}.\triangle ORQ\text{ も同じ面積となるので、}\ S=\sqrt{1+x^2+y^2}.\quad \text{(3)}\quad u=xy\text{ とおく。}\alpha+\beta=\frac\pi4\text{ より }x+y=1-u\text{ である。また }S=\frac76\text{ より }x^2+y^2=\frac{13}{36}\text{ となる。したがって }(1-u)^2-2u=\frac{13}{36}\text{、すなわち }u=\frac16\text{ または }\frac{23}{6}\text{ である。}\ x+y=1-u>0\text{ より }u=\frac16\text{ を選び、}\ x+y=\frac56\text{ を得る。}$$