1昭和大学 2024年 数学 第1問解答・解説

(1-1) 最初の4項 解と係数の関係より、$\alpha+\beta=1$、$\alpha\beta=-1$である。したがって $$a_1=1,\qquad a_2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=3.$$ 各根$u$は$u^2=u+1$を満たすので、(1-2)の漸化式から$a_3=4$、$a_4=7$を得る。

(1-2) 漸化式 $u^2=u+1$に$u^{n-2}$を掛け、$u=\alpha,\beta$の2式を加えると $$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}\qquad(n\geq3)$$ となる。

(1-3) 比の極限 $$\displaystyle \alpha=\frac{1-\sqrt5}{2},\qquad\beta=\frac{1+\sqrt5}{2},\qquad \left|\frac{\alpha}{\beta}\right|<1$$ より、 $$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n} =\beta\frac{1+(\alpha/\beta)^{n+1}}{1+(\alpha/\beta)^n} \longrightarrow\beta=\frac{1+\sqrt5}{2}.$$

(2-1) 全組の積の和 $$\displaystyle S_1=\left(\sum\limits _{j=1}^n j\right)^2 =\left(\frac{n(n+1)}2\right)^2 =\frac{n^2(n+1)^2}{4}.$$

(2-2) $j<k$の組の和 対称な組を合わせた和から$j=k$の項を除いて2で割ると $$\displaystyle \begin{aligned} S_2&=\sum\limits _{1\leq j<k\leq n}jk\\ &=\frac12\left[\left(\sum\limits _{j=1}^n j\right)^2-\sum\limits _{j=1}^n j^2\right]\\ &=\frac{n(n+1)(n-1)(3n+2)}{24}. \end{aligned}$$

(2-3) 隣接する組を除いた和 $j<k$の組から$k=j+1$の組を除くので $$\displaystyle \begin{aligned} S_3&=S_2-\sum\limits _{j=1}^{n-1}j(j+1)\\ &=S_2-\frac{n(n-1)(n+1)}3\\ &=\frac{n(n-1)(n+1)(n-2)}8. \end{aligned}$$