III日本医科大学 2023年 数学 第III問解答・解説

問1で $r=n+2$ とおく。$x^3$ の項は、$r$ 個の因子から $x$ の項を3つ選ぶ場合と、$x^2$ の項と $x$ の項を1つずつ選ぶ場合から生じる。従って $$\displaystyle A_n=\left(\frac32\right)^3\binom r3+\left(\frac32\right)^2r(r-1) =\frac9{16}r(r-1)(r+2) =\frac9{16}(n+1)(n+2)(n+4).$$ よって $(\text{ア},\text{イ},\text{ウ},\text{エ},\text{オ})=(9,16,1,2,4)$。例えば $n=1$ では係数は $135/8$ で、公式も同じ値を与える。

問2では $$\displaystyle A_k=\frac9{16}(k^3+7k^2+14k+8).$$ $\displaystyle \sum\limits _{k=1}^n k^3=n^2(n+1)^2/4$ であり、$\displaystyle \sum k^2,\sum k,n$ はそれぞれ次数が3,2,1なので、$n^4$ で割った極限への寄与は0である。従って $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\frac1{n^4}\sum\limits _{k=1}^n A_k =\frac9{16}\cdot\frac14=\frac9{64}.$$

問3では部分分数分解により $$\displaystyle \frac1{(k+1)(k+2)(k+4)}=\frac1{3(k+1)}-\frac1{2(k+2)}+\frac1{6(k+4)}.$$ これを $k=1$ から $n$ まで足す。分母が $j\ge5$ で内部にある項の係数は $1/3-1/2+1/6=0$ となって相殺する。端の固定項は $$\displaystyle \frac1{3\cdot2}+\left(\frac13-\frac12\right)\frac13+\left(\frac13-\frac12\right)\frac14 =\frac16-\frac1{18}-\frac1{24}=\frac5{72}.$$ 残る上端の項は $-1/[3(n+2)]+1/[6(n+3)]+1/[6(n+4)]$ で0に収束する。よって $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\sum\limits _{k=1}^n\frac1{A_k} =\frac{16}{9}\cdot\frac5{72}=\frac{10}{81}.$$

問4では問1より $a_n+b_n+c_n=3n+7$ なので、求める数列を $T_n$ とおくと $$\displaystyle T_n=\frac1{n^2}\left(\frac{(3n+7)!}{n!}\right)^{1/n}.$$ 自然対数をとり、$\displaystyle (3n+7)!/n!=\prod\limits _{j=n+1}^{3n+7}j$ を使うと $$\displaystyle \log T_n=\frac1n\sum\limits _{j=n+1}^{3n+7}\log\frac jn+\frac{7\log n}{n}.$$ 許された $\log n/n\to0$ と、連続関数 $\log x$ のリーマン和から $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\log T_n=\int_1^3\log x\,dx =[x\log x-x]_1^3=3\log3-2.$$ 従って $T_n\to e^{3\log3-2}=27/e^2$。