4昭和大学 2024年 数学 第4問解答・解説

全事象は $\displaystyle \binom{12}{4}=495$ 通りである。

(1) 2 種類のスートを選ぶ方法は $\displaystyle \binom42=6$ 通り。選んだ 2 種類に属する 6 枚から 4 枚選べば必ず両方の種類を含むので、$\displaystyle \frac{6\binom64}{495}=\frac{90}{495}=\frac2{11}.$

(2) 3 種類のスートの選び方は $\displaystyle \binom43=4$ 通り。各選び方について 9 枚から 4 枚選び、いずれか 1 種類を欠く場合を引くと、$\displaystyle \binom94-3\binom64=126-45=81$ 通りである。よって確率は $\displaystyle \frac{4\cdot81}{495}=\frac{36}{55}.$

(3) 4 種類すべてを含むには各スートから 1 枚ずつ選ぶので、$\displaystyle \frac{3^4}{495}=\frac9{55}.$

(4) J,Q,K をすべて含む 4 枚では、いずれか 1 ランクが 2 枚となる。重なるランク、そこに使う 2 スート、残る 2 ランクのスートの選び方を数えて $\displaystyle 3\binom42\cdot4^2=288$ 通り。確率は $\displaystyle \frac{288}{495}=\frac{32}{55}.$

(5) 4 スートをすべて含むなら各スートから 1 枚ずつである。3 ランクすべてを含むには、重なるランクを 3 通り、そこに使う 2 スートを $\displaystyle \binom42$ 通り、残る 2 ランクを残るスートへ割り当てる方法を $2$ 通り選ぶ。したがって確率は $\displaystyle \frac{3\binom42\cdot2}{495}=\frac{36}{495}=\frac4{55}.$