1山形大学 2025年 数学 第1問解答・解説

9人の座席への着席は一様であるため、9席のうち4席を子どもの席として選ぶ組は全て同様に確からしく、その総数は $\displaystyle \binom94=126$ である。

(1) 3人席のテーブル $A,B,C$ を考える。

(i) テーブル $A$ に座る3人のうち子どもがちょうど1人となる確率は、超幾何的な数え上げにより $$\displaystyle \frac{\binom41\binom52}{\binom93}=\frac{40}{84}=\frac{10}{21}.$$

(ii) テーブル $A$ に大人が1人以上いる確率は、3席全てが子どもとなる場合を除いて $$\displaystyle 1-\frac{\binom43}{\binom93}=1-\frac4{84}=\frac{20}{21}.$$

(iii) 各テーブルに大人が1人以上いるためには、どのテーブルも3席全てが子どもであってはならない。4人の子どもしかいないので、3席全てが子どもとなるテーブルは高々1つである。そのような子どもの席の組は、全子ども席の選び方 $\displaystyle \binom94$ のうち、全子ども席が入るテーブルの選択3通りと、残り1人が他の6席から選ばれる $6$ 通りの積、計 $18$ 通りである。従って確率は $$\displaystyle \frac{126-18}{126}=\frac{108}{126}=\frac67.$$

(2) テーブル $D$ の5席は円周上に並び、テーブル $E$ は5席中あらかじめ決まった1席を使わない。従って子ども4人の席位置は、9席から4席を選ぶ $126$ 通りが等確率である。

(i) $D$ の円周上の隣接席の組は5組ある。$D$ に子どもがちょうど2人でその2人が隣り合うには、Dの隣接席の組を5通りで選び、残る2人の席をEの使用する4席から $\displaystyle \binom42=6$ 通りで選べばよい。よって $$\displaystyle \frac{5\binom42}{\binom94}=\frac{30}{126}=\frac5{21}.$$

(ii) Dでは隣接席の組が5組ある。Eでは使用しない席をまたぐ組は隣接とみなさないので、使用席4つの並びは両端が切れた列となり、隣接席の組は3組である。従って有利な子ども席の組は $5\cdot3=15$ 通りで、確率は $$\displaystyle \frac{15}{\binom94}=\frac{15}{126}=\frac5{42}.$$