3大分大学 2025年 数学 第3問解答・解説

(1) 定義より、$$\displaystyle a_2(25)=\frac{1}{25^2}\sum\limits _{i=1}^{25}i^2=\frac{25\cdot26\cdot51}{6\cdot25^2}=\frac{221}{25}.$$

(2) $$\displaystyle a_1(5)=\frac{15}{5}=3,\qquad a_2(5)=\frac{55}{25}=\frac{11}{5},\qquad a_3(5)=\frac{225}{125}=\frac95.$$ したがって、$$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{3}a_k(5)=3+\frac{11}{5}+\frac95=7.$$

(3) $\displaystyle S_j(n)=\sum\limits _{i=1}^{n}i^j$ とおき、$S_0(n)=n$ とする。二項定理を用いて差を足し合わせると、$$\displaystyle (n+1)^{k+1}-1=\sum\limits _{i=1}^{n}\bigl((i+1)^{k+1}-i^{k+1}\bigr)=(k+1)S_k(n)+\sum\limits _{j=0}^{k-1}\binom{k+1}{j}S_j(n).$$ $0\leq j\leq k-1$ ならば $0\leq S_j(n)\leq n^{j+1}\leq n^k$ である。よって、最後の和を $n^{k+1}$ で割ったものは、$k$ を固定して $n\to\infty$ とすると $0$ に収束する。一方、$\bigl((n+1)^{k+1}-1\bigr)/n^{k+1}\to1$ なので、上の等式から $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\frac{S_k(n)}{n^{k+1}}=\frac{1}{k+1}.$$ ここで $a_k(n)/n=S_k(n)/n^{k+1}$ だから、$$\displaystyle b_k=\frac{1}{k+1}.$$

(4) (3)の結果を用いると、$$\displaystyle b_kb_{k+1}=\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2}.$$ したがって、部分和は $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{m}b_kb_{k+1}=\frac12-\frac{1}{m+2}$$ となり、$m\to\infty$ とすると求める値は $\displaystyle \frac12$ である。