1浜松医科大学 2019年 数学 第1問解答・解説

(1)(a) 二項定理より $$\displaystyle (1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2+\sum\limits _{k=3}^{n}\binom{n}{k}x^k.$$ ここで、$n\geq 3$、$x>0$ だから、$3\leq k\leq n$ の各 $k$ について $\displaystyle \binom{n}{k}x^k>0$ であり、特に和の項は存在して正である。したがって $$\displaystyle (1+x)^n>1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2.$$

(1)(b) (1)(a)で得た不等式から、$n\geq 3$ に対して $$\displaystyle 0<\frac{n}{(1+x)^n}<\frac{n}{\frac{n(n-1)}{2}x^2}=\frac{2}{(n-1)x^2}.$$ $x>0$ は固定されているので右辺は $n\to\infty$ で $0$ に収束する。はさみうちの原理より $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\frac{n}{(1+x)^n}=0.$$ よって収束し、その値は $0$ である。

(2)(a) $$\displaystyle b_n=a_n-\frac{1}{2^n}$$ とおく。漸化式を用いると $$\displaystyle \begin{aligned} b_{n+1} &=\frac{a_n+2^{-(n+1)}}{3}-2^{-(n+1)}\\ &=\frac{a_n-2^{-n}}{3}=\frac{b_n}{3}. \end{aligned}$$ また、$\displaystyle b_1=a_1-\frac12=\frac12$ だから、$\{b_n\}$ は初項 $\displaystyle \frac12$、公比 $\displaystyle \frac13$ の等比数列であり、 $$\displaystyle b_n=\frac12\left(\frac13\right)^{n-1}.$$ したがって $$\displaystyle a_n=\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2\cdot 3^{n-1}}.$$

(2)(b) $0<r<1$ とし、$\displaystyle S_N=\sum\limits _{n=1}^{N}nr^{n-1}$ とおく。$S_N-rS_N$ を計算すると $$(1-r)S_N=1+r+\cdots+r^{N-1}-Nr^N,$$ したがって $$\displaystyle S_N=\frac{1-(N+1)r^N+Nr^{N+1}}{(1-r)^2}.$$ ここで $r^N\to0$ であり、(1)(b)に $x=r^{-1}-1>0$ を用いると $Nr^N\to0$ でもある。よって $$\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{\infty}nr^{n-1}=\lim\limits _{N\to\infty}S_N=\frac{1}{(1-r)^2}.$$ (2)(a)の一般項より、各項は正であり、上の式を $\displaystyle r=\frac13,\frac12$ に適用して $$\displaystyle \begin{aligned} \sum\limits _{n=1}^{\infty}na_n &=\frac12\sum\limits _{n=1}^{\infty}n\left(\frac13\right)^{n-1} +\frac12\sum\limits _{n=1}^{\infty}n\left(\frac12\right)^{n-1}\\ &=\frac12\cdot\frac{1}{(1-\frac13)^2} +\frac12\cdot\frac{1}{(1-\frac12)^2}\\ &=\frac98+2=\frac{25}{8}. \end{aligned}$$ したがって、この無限級数は収束し、その和は $\displaystyle \frac{25}{8}$ である。