III愛知医科大学 2024年 数学 第III問解答・解説

第III問

整数 $x$ が $-\sqrt{k}\le x\le\sqrt{k}$ を満たすことは $|x|\le\lfloor\sqrt{k}\rfloor$ と同値である。従って $$a_k=2\lfloor\sqrt{k}\rfloor+1.$$

1) $k=1,2,3$ では $1\le\sqrt{k}<2$ なので $a_k=3$、また $k=4$ では $a_4=5$。よって $$S_4=3+3+3+5=14.$$

2) $m=\lfloor\sqrt{k}\rfloor$ とおけば $m\le\sqrt{k}<m+1$ であり、$a_k=2m+1$ である。したがって $$2\sqrt{k}-1<2m+1=a_k$$ （$\sqrt{k}<m+1$ による）かつ $$a_k=2m+1\le2\sqrt{k}+1$$ （$m\le\sqrt{k}$ による）。よってすべての正整数 $k$ について $$2\sqrt{k}-1<a_k\le2\sqrt{k}+1.$$

3) 上の不等式を $k=1,\ldots,n$ で加えると $$\displaystyle 2\sum\limits _{k=1}^n\sqrt{k}-n<S_n \le2\sum\limits _{k=1}^n\sqrt{k}+n.$$ 関数 $\sqrt{x}$ は $x\ge0$ で増加するので $$\displaystyle \int_0^n\sqrt{x}\,dx \le\sum\limits _{k=1}^n\sqrt{k} \le\int_1^{n+1}\sqrt{x}\,dx.$$ 従って $$\displaystyle \frac43n^{3/2}-n<S_n \le\frac43\bigl((n+1)^{3/2}-1\bigr)+n.$$ 両辺を $n^{3/2}$ で割る。左端は $4/3-1/\sqrt n\to4/3$、右端は $$\displaystyle \frac43\left(\left(1+\frac1n\right)^{3/2}-\frac1{n^{3/2}}\right)+\frac1{\sqrt n} \longrightarrow\frac43.$$ はさみうちの原理より $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\frac{S_n}{n^{3/2}}=\frac43.$$

$$\displaystyle \boxed{S_4=14,\qquad 2\sqrt{k}-1<a_k\le2\sqrt{k}+1,\qquad \lim\limits _{n\to\infty}\frac{S_n}{n^{3/2}}=\frac43}$$ 検算：$a_1=a_2=a_3=3,\ a_4=5$で和は14。完全平方数 $k=m^2$ では $a_k=2m+1$ となり上界が等号、下界は厳密不等号のままである。和の主要項は $\displaystyle 2\sum\sqrt{k}$ で、積分評価の係数は $2\cdot(2/3)=4/3$。