2大阪大学 2025年 数学 第2問解答・解説

・ $q=p^2-m$とおく。$f'(x)=3\{(x+p)^2-q\}$である。極大値と極小値をもつので$q>0$であり、$f'(x)$の符号は$x=-p-\sqrt q$より左で正、その点から$x=-p+\sqrt q$まで負、それより右で正となる。したがって $$\alpha=-p-\sqrt q,\qquad \beta=-p+\sqrt q.$$ $u=x+p$とおけば $$f(x)=u^3-3qu+2p^3-3mp.$$ よって $$f(\alpha)=2q^{3/2}+2p^3-3mp,\qquad f(\beta)=-2q^{3/2}+2p^3-3mp$$ であるから $$f(\alpha)-f(\beta)=4q^{3/2}=4(p^2-m)^{3/2}.$$

・ (1)より、条件$f(\alpha)-f(\beta)=4$は$4q^{3/2}=4$を意味する。$q>0$なので$q=1$、したがって$m=p^2-1$である。 $$f''(x)=6(x+p)$$ は$x=-p$を境に符号が変わるから、変曲点の$x$座標は$-p$である。また、$u=x+p$とした式から $$f(-p)=2p^3-3mp=2p^3-3p(p^2-1)=-p^3+3p.$$ したがって変曲点は$(-p,-p^3+3p)$である。$X=-p$とおくと、この点は$(X,X^3-3X)$と表される。$p$は任意の実数を動けるので$X$も任意の実数を動き、軌跡は $$y=x^3-3x\qquad (x\text{ はすべての実数})$$ である。実際、任意の実数$x$に対し$p=-x,\ m=x^2-1$とすれば条件を満たすため、この曲線上の点はすべて得られる。