2東京慈恵会医科大学 2014年 数学 第2問解答・解説

$f(x)=\log(a^2+x^2)$、$g(x)=x^2+b$ とする。

(1)(i) 微分して $$\displaystyle f'(x)=\frac{2x}{a^2+x^2},\qquad f^{\prime\prime}(x)=\frac{2(a^2-x^2)}{(a^2+x^2)^2}.$$ $x\ge0$ では $f''$ は $0\le x<a$ で正、$x>a$ で負だから、$x=a$ が変曲点の横座標である。$P=(a,\log(2a^2))$ を $C_2$ 上にもつ条件から $a^2+b=\log(2a^2)$、従って $t(a)=a$、$b=\log(2a^2)-a^2$。

(ii) $a=1/2$ なら $f(0)=\log(1/4)=-\log4$、変曲点は $P=(1/2,-\log2)$。$f'(x)>0$ for $x>0$ なので右半分は単調増加し、$0<x<1/2$ で下に凸、$x>1/2$ で上に凸となる。$f'(0)=0$ で始まり、変曲点で傾きは $f'(1/2)=2$。与えられた $0.6<\log2<0.7$ を使えば変曲点の高さは $-0.7< -\log2<-0.6$ と読める。これらの点・増減・凹凸を基に概形を描ける。 概形は付図A「C₁のグラフ」を参照。

(2) $H(x)=f(x)-g(x)$ とおく。$H(a)=0$ であり $$\displaystyle H^{\prime}(x)=2x\left(\frac1{a^2+x^2}-1\right).$$ $0\le x\le a$ かつ $a^2\le1/2$ より $a^2+x^2\le1$、従って $H^{\prime}(x)\ge0$。よって $H$ は区間で増加し、$H(x)\le H(a)=0$、すなわち $f(x)\le g(x)$。

(3) (2)の大小から $$\displaystyle S(a)=\int_0^a(g(x)-f(x))\,dx=\int_0^a\{x^2+b-\log(a^2+x^2)\}\,dx.$$ ここで部分積分により $$\displaystyle \begin{aligned} J&=\int_0^a\log(a^2+x^2)\,dx\\ &=a\log(2a^2)-\int_0^a\frac{2x^2}{a^2+x^2}\,dx\\ &=a\log(2a^2)-2a+2a^2\int_0^a\frac{dx}{a^2+x^2}. \end{aligned}$$ 最後の積分では$x=a\tan\theta$とおく。$a>0$なので$0\le\theta\le\pi/4$となり、 $$\displaystyle \int_0^a\frac{dx}{a^2+x^2} =\frac1a\int_0^{\pi/4}d\theta=\frac{\pi}{4a}.$$ よって$J=a\log(2a^2)-2a+a\pi/2$である。 $S(a)=a^3/3+ab-J$に$b=\log(2a^2)-a^2$を代入すると $$\displaystyle S(a)=a\left(2-\frac\pi2\right)-\frac23a^3.$$ 微分して $S'(a)=2-\pi/2-2a^2$。唯一の臨界点は $a=\sqrt{4-\pi}/2$ で、これは $0<a\le\sqrt2/2$ の範囲内。$S''(a)=-4a<0$ なので最大となる。このとき $a^2=(4-\pi)/4$ を代入して $$\displaystyle S_{\max}=\frac{(4-\pi)^{3/2}}6.$$