5大阪大学 2025年 数学 第5問解答・解説

(1) 偶数回後には，置換の偶奇から文字列は $\mathrm{ABC},\mathrm{BCA},\mathrm{CAB}$ のいずれかである。2回の投げ方はそれぞれ確率 $\displaystyle \frac14$ であり，同じ面が2回続けば元の文字列に戻り，表裏の順序が異なれば残り2つの文字列のどちらかに移る。したがって，2回ごとの遷移では，現在の文字列にとどまる確率が $\displaystyle \frac12$，残り2つの各文字列へ移る確率が $\displaystyle \frac14$ である。

$2k$ 回後に $\mathrm{ABC},\mathrm{BCA},\mathrm{CAB}$ である確率をそれぞれ $P_k,Q_k,R_k$ とする。初期状態では $\mathrm{ABC}$ であり，遷移の対称性から $Q_k=R_k$ である。また $P_k+Q_k+R_k=1$ なので $P_k+2Q_k=1$ となる。上の遷移から $$\displaystyle P_{k+1}=\frac12P_k+\frac12Q_k,\qquad Q_{k+1}=\frac14P_k+\frac34Q_k.$$ よって $$\displaystyle P_{k+1}-Q_{k+1}=\frac14(P_k-Q_k).$$ $P_0=1,\ Q_0=0$ より，帰納的に $P_k-Q_k=4^{-k}$ である。$P_k=p_{2k},\ Q_k=q_{2k}$ だから $$p_{2k}-q_{2k}=4^{-k}.$$

(2) 1回の操作は2文字を入れかえるので置換の偶奇が毎回反転する。したがって $n$ が奇数なら $\mathrm{ABC}$ には戻らず，$p_n=0$ である。$n=2k$ のときは (1) より $P_k-Q_k=4^{-k}$ であり，$P_k+2Q_k=1$ だから $$\displaystyle P_k=\frac{1+2\cdot4^{-k}}{3}.$$ ここで $P_k=p_{2k}=p_n$，かつ $2\cdot4^{-k}=2^{1-n}$ なので $$\displaystyle p_n=\frac{1+2^{1-n}}{3}.$$