岐阜大学 2025年数学第2問解答・解説

数列指数関数・対数関数

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1問題

岐阜大学2025年度第2問

数列 {aₙ} を a₁ = 4, aₙ₊₁ = 2ⁿ⁺¹ · √aₙ (n = 1, 2, 3, …) とし，数列 {bₙ} を bₙ = log₂ aₙ (n = 1, 2, 3, …) と定める。以下の問に答えよ。

(1) a₂, b₁, b₂を求めよ。

(2) bₙ₊₁をbₙとnを用いて表せ。

(3) cₙ = bₙ₊₁ − bₙとする。cₙをnを用いて表せ。

(4) 数列 {bₙ} の一般項bₙを求めよ。

(5) 数列 {aₙ} の初項から第n項までの積をPₙ = a₁a₂⋯aₙとおく。log₂ Pₙを求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $a_2=8,\quad b_1=2,\quad b_2=3$ 。 (2) $\displaystyle b_{n+1}=n+1+\frac12b_n$ 。 (3) $c_n=2-2^{1-n}$ 。 (4) $b_n=2n-2+2^{2-n}$ 。 (5) $\log_2P_n=n(n-1)+4(1-2^{-n}),\quad n\ge1$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $a_2=2^2\sqrt4=8$ 、 $b_1=\log_24=2$ 、 $b_2=\log_28=3$ 。

(2) 両辺の底2の対数をとると $b_{n+1}=n+1+b_n/2$ 。

(3) 隣り合う二式を引いて $c_{n+1}=1+c_n/2$ 。 $c_1=1$ だから、 $c_{n+1}-2=(c_n-2)/2$ より $c_n=2-2^{1-n}$ 。

(4) $\displaystyle b_n=b_1+\sum\limits _{k=1}^{n-1}c_k$ より $b_n=2+2(n-1)-2(1-2^{1-n})=2n-2+2^{2-n}.$ (5) 積の対数は対数の和だから $\displaystyle \log_2P_n=\sum\limits _{k=1}^nb_k=\sum\limits _{k=1}^n(2k-2)+\sum\limits _{k=1}^n2^{2-k}=n(n-1)+4(1-2^{-n}).$

この問題で使う考え方

対数変換
階差数列
等比数列

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