東北大学 2025年数学第2問解答・解説

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1問題

東北大学2025年度第2問

正の実数からなる 2 つの数列 $\{x_{n}\}, \{y_{n}\}$ を次のように定める。

$\displaystyle x _ {1} = 2, \quad y _ {1} = \frac {1}{2}, \quad x _ {n + 1} = (x _ {n}) ^ {5} \cdot (y _ {n}) ^ {2}, \quad y _ {n + 1} = x _ {n} \cdot (y _ {n}) ^ {6}$

このとき，以下の問いに答えよ。

(1) k を実数とする。 $a_{n}=\log_{2}x_{n}, b_{n}=\log_{2}y_{n}$ とおく。このとき，数列 $\{a_{n}+kb_{n}\}$ が等比数列になるような k の値をすべて求めよ。

(2) 数列 $\{x_{n}\}$ の一般項を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $k=-1,\,2$ 。 (2) $\displaystyle x_n=2^{\frac{4^n-7^{n-1}}{3}}\quad(n\ge1)$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

初項から $\displaystyle a_1=\log_2 2=1,\ b_1=\log_2\frac12=-1$ であり、対数の性質から $a_{n+1}=5a_n+2b_n,\qquad b_{n+1}=a_n+6b_n.$

(1) $c_n=a_n+kb_n$ とおくと $c_1=1-k,\qquad c_2=3-5k,\qquad c_3=5-27k.$ 等比数列なら $c_2^2=c_1c_3$ であるから $(3-5k)^2=(1-k)(5-27k) \quad\text{ならば}\quad (k-2)(k+1)=0.$ 従って候補は $k=-1,2$ である。漸化式より $a_{n+1}-b_{n+1}=4(a_n-b_n),\qquad a_{n+1}+2b_{n+1}=7(a_n+2b_n).$ よって $k=-1$ と $k=2$ はそれぞれ公比 $4$ 、公比 $7$ の等比数列を与え、どちらも実際に条件を満たす。

(2) 初項を用いて $a_n-b_n=2\cdot4^{n-1},\qquad a_n+2b_n=-7^{n-1}.$ これらから $3a_n=2(a_n-b_n)+(a_n+2b_n) =4\cdot4^{n-1}-7^{n-1} =4^n-7^{n-1}.$ 従って $\displaystyle x_n=2^{a_n}=2^{\frac{4^n-7^{n-1}}{3}}\qquad(n\ge1).$

この問題で使う考え方

対数変換
等比数列

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