6京都大学 2024年 数学 第6問解答・解説

以下の整数個数の等式は $n\ge2$ について用いる。$n=1$ では $k=0$ を数えないよう両式から1を引くが、極限には影響しない。

$c=\log_2 10$（したがって $c>0$）とする。$z=2^{\sqrt{k}}$ とおくと、整数部分が $n$ 桁である条件は $10^{n-1}\le z<10^n$ である。指数関数 $2^x$ は増加するから、これは $c(n-1)\le\sqrt{k}<cn$、すなわち $c^2(n-1)^2\le k<c^2n^2$ と同値である。$u\le j<v$ を満たす整数 $j$ の個数は $\lceil v\rceil-\lceil u\rceil$ なので、 $$N_n=\left\lceil c^2n^2\right\rceil-\left\lceil c^2(n-1)^2\right\rceil.$$ さらに、最高位の数字が $1$ である条件は $10^{n-1}\le z<2\cdot10^{n-1}$ である。よって $c(n-1)\le\sqrt{k}<c(n-1)+1$ となり、 $$L_n=\left\lceil\bigl(c(n-1)+1\bigr)^2\right\rceil-\left\lceil c^2(n-1)^2\right\rceil.$$ 任意の実数 $t$ について $0\le\lceil t\rceil-t<1$ であるから、ある $|\varepsilon_n|<1, |\eta_n|<1$ を満たす数 $\varepsilon_n,\eta_n$ により $$N_n=c^2(2n-1)+\varepsilon_n,\qquad L_n=2c(n-1)+1+\eta_n$$ と書ける。したがって $N_n/n\to2c^2$、$L_n/n\to2c$ となる。$2c^2>0$ より、 $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\frac{L_n}{N_n}=\frac{2c}{2c^2}=\frac1{\log_2 10}=\log_{10}2.$$