4京都大学 2024年 数学 第4問解答・解説

(1)(2)をまとめて、$a_0,a_1,\ldots,a_k$ がすべて奇数となる最小の $a_0$ を考える。この条件のもとでは $n=0,1,\ldots,k-1$ で常に奇数の場合の漸化式を使うから、$$\displaystyle a_{n+1}+1=\frac{3a_n+1}{2}+1=\frac{3(a_n+1)}{2}.$$ よって帰納的に、$$\displaystyle a_n+1=\frac{3^n(a_0+1)}{2^n}\qquad(0\le n\le k)$$ となる。 $a_k$ は奇数なので $a_k+1$ は偶数である。したがって $$3^k(a_0+1)=2^k(a_k+1)$$ は $2^{k+1}$ の倍数である。 $3^k$ は奇数であるから、$a_0+1$ は $2^{k+1}$ の倍数であり、$a_0\ge 2^{k+1}-1$ である。 この下限は実現できる。実際、$a_0=2^{k+1}-1$ とすると、$0\le n\le k$ について$$a_n=3^n2^{k+1-n}-1$$となる。$k+1-n\ge1$ なので各 $a_n$ は奇数であり、$n<k$ では$$\displaystyle \frac{3a_n+1}{2}=3^{n+1}2^{k-n}-1=a_{n+1}$$が成り立つ。ゆえにこの $a_0$ は条件を満たし、最小である。 (1)では $k=3$ だから $a_0=2^4-1=15$。このとき$(a_0,a_1,a_2,a_3)=(15,23,35,53)$ である。 (2)では $k=10$ だから $a_0=2^{11}-1=2047$。このとき $0\le n\le10$ で $a_n=3^n2^{11-n}-1$ はすべて奇数である。