5京都大学 2024年 数学 第5問解答・解説

領域を考えるため、$x\geq0$ とし $L(x)=(e^x-e^{-x})/2$, $U(x)=(e^x+e^{-x})/2$ とおく。差は $U(x)-L(x)=e^{-x}>0$。また $L'(x)=U(x)>0$、$U'(x)=(e^x-e^{-x})/2=L(x)\geq0$ なので、$L$ は増加し、$U$ も $x\geq0$ で増加する。ここで問題の条件は $a\geq1$。領域の右端は $L(x)=a$ となる $\beta$ で決まる。

交点を指数と対数だけで求める。$t=e^x$ とすると $t\geq1$。方程式 $L(x)=a$ は $t^2-2at-1=0$ となるので、正の解は $t=a+\sqrt{a^2+1}$。従って $\beta=\log(a+\sqrt{a^2+1})$。一方、上側の境界が $U(x)$ から $a$ に切り替わる点 $\alpha$ は $U(x)=a$ を満たす。これは $t^2-2at+1=0$ であり、$t=a\pm\sqrt{a^2-1}$。$t=e^x\geq1$ に対応する大きい根を選んで $\alpha=\log(a+\sqrt{a^2-1})$ を得る（$a=1$ では $\alpha=0$）。さらに $a+\sqrt{a^2+1}>a+\sqrt{a^2-1}\geq1$ より $0\leq\alpha<\beta$。$0\le x\le\alpha$ では $U(x)\leq a$、$\alpha\le x\le\beta$ では上端は $a$ だから、面積は $$\displaystyle S_a=\int_0^\alpha(U(x)-L(x))\,dx+\int_\alpha^\beta(a-L(x))\,dx.$$

第1積分は $\displaystyle \int_0^\alpha e^{-x}dx=1-e^{-\alpha}$。第2積分では $U'(x)=L(x)$ を使って $a(\beta-\alpha)-U(\beta)+U(\alpha)=a(\beta-\alpha)+a-\sqrt{a^2+1}$。また $e^{-\alpha}=1/(a+\sqrt{a^2-1})=a-\sqrt{a^2-1}$。従って $$\displaystyle S_a=1+\sqrt{a^2-1}-\sqrt{a^2+1}+a\log\frac{a+\sqrt{a^2+1}}{a+\sqrt{a^2-1}}.$$

極限を調べる。 $$\displaystyle \sqrt{a^2+1}-\sqrt{a^2-1}=\frac{2}{\sqrt{a^2+1}+\sqrt{a^2-1}}\longrightarrow0.$$ さらに $\displaystyle u=\frac{\sqrt{a^2+1}-\sqrt{a^2-1}}{a+\sqrt{a^2-1}}>0$ とすれば、$\beta-\alpha=\log(1+u)$。$a\geq2$ では $\sqrt{a^2-1}\geq(\sqrt3/2)a$ なので、分子は $2/(\sqrt{a^2+1}+\sqrt{a^2-1})\leq2/(\sqrt3a)<2/a$、分母は $a+\sqrt{a^2-1}\geq a$。よって $u\leq2/a^2$。$0\leq\log(1+u)\leq u$ を用いると $0\leq a(\beta-\alpha)\leq2/a\to0$。以上より $\displaystyle \lim\limits _{a\to\infty}S_a=1$。