2富山大学 2023年 数学 第2問解答・解説

$f(x)=x^2e^{-x/2}\ (x\ge0)$ について $$\displaystyle f'(x)=\frac{x(4-x)}2e^{-x/2},\qquad f''(x)=\frac{x^2-8x+8}{4}e^{-x/2}.$$ よって0≦x≦4の範囲で増加し、x≧4の範囲で減少する。最大は $16/e^2$。変曲点のx座標は $\alpha=4-2\sqrt2,\beta=4+2\sqrt2$ で、f″は正・負・正の順に符号が変わる。さらに $$\displaystyle \frac{f(\beta)}{f(\alpha)}=\frac{17+12\sqrt2}{e^{2\sqrt2}}>1$$ （$17+12\sqrt2>27>e^3>e^{2\sqrt2}$ は $2\sqrt2<3, e<3$ より）なので後の変曲点の方が高い。グラフの概形は下図の通り（座標は概形）。

部分積分で $$\displaystyle \int x^2e^{-x/2}dx=-2e^{-x/2}(x^2+4x+8)+C.$$ 従って $\displaystyle S(a)=\int_0^a f(x)dx=16-2e^{-a/2}(a^2+4a+8)$。原文で許された $x^ne^{-x/2}\to0$ をn=1,2に使えば $\displaystyle \lim\limits _{a\to\infty}S(a)=16$。