4福井大学 2018年 数学 第4問解答・解説

解答（微分の正当化を補ったもの） 積分方程式の右辺は $x$ の連続関数である（$\displaystyle \int_0^x f(t)\,dt$ は $f$ の積分関数として連続）。従って $(x+1)f(x)$ は連続であり，$x+1>0$ なので $f$ も連続である。よって微積分の基本定理により $\displaystyle \int_0^x f(t)\,dt$ は微分可能で，導関数は $f(x)$ となる。ここで元の式の両辺を微分すると $$\displaystyle f(x)+(x+1)f'(x)=f(x)+\frac{2}{x+1}+1,$$ 従って $f'(x)=1/(x+1)+2/(x+1)^2$。また $x=0$ を代入して $f(0)=-2$。よって $$\displaystyle f(x)=\log(x+1)-\frac2{x+1}.$$

(1)(ii) $f'(x)=(x+3)/(x+1)^2>0$ なので、$x$ が大きくなると $f(x)$ は必ず大きくなる。$f(0)=-2<0$ であり，$f(e)=\log(e+1)-2/(e+1)>1-1=0$（$e+1>e$かつ$e+1>2$）。中間値の定理と上の増加の性質から、$0<x<e$ の範囲に解がただ一つ存在する。

(2)(i) $h(x)=\log(x+1)$ は $x>-1$ からすべての実数値をとる単調増加関数なので $g(y)=e^y-1$。

(2)(ii) 部分積分により $$\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}x\sin(nx)\,dx=-\frac{2\pi(-1)^n}{n}.$$ 従って $|P(n)|=n(e^{1/n}-1)\to1$。