2福井大学 2018年 数学 第2問解答・解説

まず $a=f(0)$、$d=f(1)-f(0)$ とおく。距離の条件から $|d|=1$ である。任意の実数 $x$ について $u=f(x)-a$ とすると、0との距離から $u^2=x^2$、1との距離から $(u-d)^2=(x-1)^2$ を得る。後者から前者を引くと $-2du+d^2=-2x+1$ であり、$d^2=1$ より $du=x$。$d=\pm1$ だから $u=dx$、したがって全実数 $x$ について $f(x)=a+dx$ である。また0は整数なので $a=f(0)$ は整数である。

(1) $d=-1$ なら $f(x)=a-x$ となり、$\displaystyle x=\frac a2$ が固定点になる。固定点がないという条件に反するから $d=1$。$f(x)=x+a$ であり、固定点がないためには $a\ne0$。よって $n=a$ は0でない整数で、$f(x)=x+n$。

(2) $d=1$ では、$a=0$ なら全ての実数が固定点となり、$a\ne0$ なら固定点はない。従ってちょうど1点を固定するには $d=-1$ でなければならない。このとき $a-x_0=x_0$ より $\displaystyle x_0=\frac a2=\frac{f(0)}2$。

(3) $d=-1$ なら固定点は $\displaystyle x=\frac a2$ の1つだけであるから、2点以上を固定する条件から $d=1$。$f(x)=x+a$ に固定点があるには $a=0$ であり、よって $f(x)=x$ が全ての実数 $x$ で成り立つ。