1福井大学 2018年 数学 第1問解答・解説

(1) $\omega$ は $1$ 以外の3乗根なので、複素平面上で $1,\omega,\bar\omega$ は偏角が $120^\circ$ ずつ異なる。$z=1+2i$ とすると $|z|=\sqrt5$ であり、$A,C,E$ は原点中心・半径 $\sqrt5$ の円上で等間隔だから、三角形 $ACE$ は正三角形である。同様に $B,D,F$ も正三角形で、前者を中心のまわりに $60^\circ$ 回した位置にある（$\omega$ の選択が共役なら鏡映になるだけで面積は変わらない）。

半径 $R=\sqrt5$ の外接円をもつ正三角形の内接円半径は $R/2$ である。2つの正三角形の辺の法線は合わせて $60^\circ$ 間隔に並ぶため、共通部分は内接円半径 $a=\sqrt5/2$ をもつ正六角形となる。その一辺は $2a\tan30^\circ$ なので、面積は $$\displaystyle 6\cdot\frac12a\,(2a\tan30^\circ)=6a^2\tan30^\circ=\frac{5\sqrt3}{2}.$$

(2) 6つの外側の頂点は対称なので、時刻 $n$ に各外側の頂点にいる確率を $q_n$ とおく。中心にいる確率を $p_n$ とすれば $$p_n+6q_n=1.$$ 各外側頂点からは3本の辺のうち1本で中心へ移るから、 $$\displaystyle p_{n+1}=6\cdot\frac{q_n}{3}=2q_n=\frac{1-p_n}{3}.$$ 初めに中心にいるので $p_0=1$。従って $$\displaystyle p_1=0,\qquad p_2=\frac13,\qquad p_3=\frac29.$$ また漸化式の不動値は $1/4$ であり、 $$\displaystyle p_{n+1}-\frac14=-\frac13\left(p_n-\frac14\right).$$ これを繰り返すと、自然数 $n$ に対し $$\displaystyle p_n=\frac14+\left(p_0-\frac14\right)\left(-\frac13\right)^n =\frac14+\frac34\left(-\frac13\right)^n.$$ したがって求める確率は $p_2=1/3,\ p_3=2/9$ および $\displaystyle p_n=\frac14+\frac34(-1/3)^n$ である。