3福井大学 2018年 数学 第3問解答・解説

$c=BC$、$h$ を三角形 $BCD$ の $BC$ への高さとして、 $$B=(0,0,0),\quad C=(c,0,0),\quad D=(c/2,h,0),\quad A=(c/2,h/2,\sqrt3h/2)$$ とおく。 (1) 内分比より $$L=(c/8,h/8,\sqrt3h/8),\quad M=(c/2,0,0),\quad N=(4c/5,2h/5,0).$$ $X=x/c,\ Y=y/h,\ Z=z/h$ とすると、3点の座標は順に $$(1/8,1/8,\sqrt3/8),\quad(1/2,0,0),\quad(4/5,2/5,0),$$ 平面 $LMN$ は $4X-3Y+5\sqrt3Z-2=0$ である。 $AD$ 上の点を $A+t(D-A)$ と表して代入すると、$6-9t=0$ より $t=2/3$。よって $AS/DS=t/(1-t)=2$。 (2) $S=(c/2,5h/6,\sqrt3h/6)$ なので、 $$\overrightarrow{MA}=(0,h/2,\sqrt3h/2),\quad\overrightarrow{MS}=(0,5h/6,\sqrt3h/6).$$ 内積は $2h^2/3$、長さは $|MA|=h$、$|MS|=h\sqrt7/3$ だから、 $$\displaystyle \cos\angle AMS=\frac{2h^2/3}{h^2\sqrt7/3}=\frac2{\sqrt7}.$$ (3) $BD=1$ より $c^2/4+h^2=1$、$c=2\sqrt{1-h^2}$。底面積は $ch/2$、高さは $\sqrt3h/2$ だから、 $$\displaystyle V=\frac{\sqrt3ch^2}{12}=\frac{\sqrt3}{6}h^2\sqrt{1-h^2}.$$ $u=h^2$ とおくと $0<u<1$ であり、 $V^2=u^2(1-u)/12$。 $$\displaystyle \frac d{du}\{u^2(1-u)\}=u(2-3u)$$ より唯一の内部最大点は $u=2/3$。端点 $u=0,1$ は退化した極限であり、四面体には含めないが、その極限では $V\to0$ である。 内部 $u=2/3$ で最大値 $V=1/9$ を実現し、そのとき $AD=|D-A|=h=\sqrt{2/3}$。