4旭川医科大学 2018年 数学 第4問解答・解説

余弦定理より $$\displaystyle \cos\angle ABC=\frac{AB^2+BC^2-CA^2}{2\,AB\,BC}=\frac{4+9-7}{12}=\frac12,$$ したがって $\angle ABC=60^\circ$。座標を $\displaystyle B=(0,0),\ A=(2,0),\ C=(\frac32,\frac{3\sqrt3}{2})$ とおく。

$S=(1,-\sqrt3)$ であり、円 $(ASB)$ の中心は $\displaystyle (1,-\frac{\sqrt3}{3})$、半径は $\displaystyle \frac{2}{\sqrt3}$ だから、その方程式は $$\displaystyle x^2+y^2-2x+\frac{2\sqrt3}{3}y=0.$$ また、$\displaystyle T=(-\frac32,\frac{3\sqrt3}{2})$ であり、円 $(BTC)$ の中心は $(0,\sqrt3)$、半径は $\sqrt3$ だから、その方程式は $$x^2+y^2-2\sqrt3 y=0.$$ 両式の差から $\displaystyle y=\frac{\sqrt3}{4}x$。これを後者へ代入し、$B$ 以外の交点を取ると $$\displaystyle P=(\frac{24}{19},\frac{6\sqrt3}{19}).$$ よって $$\displaystyle AP=\frac{4\sqrt{19}}{19},\qquad BP=\frac{6\sqrt{19}}{19},\qquad CP=\frac{9\sqrt{19}}{19}.$$ これらと $AB=2,\ BC=3$ から $$\displaystyle \frac{AP}{PB}=\frac{AB}{BC}=\frac{PB}{PC}=\frac23,$$ したがって $\triangle PAB\sim\triangle PBC$（対応は $P\leftrightarrow P, A\leftrightarrow B, B\leftrightarrow C$）。

最後に $$\displaystyle \overrightarrow{AP}=(-\frac{14}{19},\frac{6\sqrt3}{19}),\quad \overrightarrow{AB}=(-2,0),\quad \overrightarrow{AC}=(-\frac12,\frac{3\sqrt3}{2}),$$ を係数比較すると $$\displaystyle \overrightarrow{AP}=\frac6{19}\overrightarrow{AB}+\frac4{19}\overrightarrow{AC}.$$

余弦定理でABCを正三角形の角度に定め、ABをx軸とする座標を取る。二つの正三角形の外接円の方程式を立てて共通点Pを求め、距離を計算する。各辺の比を比較して相似を確認し、最後は基底ベクトルAB, ACの係数比較で表す。