2旭川医科大学 2018年 数学 第2問解答・解説

問1では$g(x)\ge0$なので面積はその定積分である。積和公式から $$\displaystyle \sin x\cos2nx=\frac12\{\sin(2n+1)x+\sin(1-2n)x\}.$$ 奇整数$m$に対し$\displaystyle \int_0^\pi\sin(mx)dx=2/m$なので $$\displaystyle \int_0^\pi\sin x\cos2nx\,dx=\frac1{2n+1}+\frac1{1-2n}=\frac2{1-4n^2}.$$ 従って面積は $$\displaystyle \int_0^\pi\sin x\sin^2nx\,dx=1-\frac1{1-4n^2}=\frac{4n^2}{4n^2-1}.$$ 問2の共有点条件は$\sin x\cos^2nx=0$である。導関数は $$f'(x)=\cos x,\quad g'(x)=\cos x\sin^2nx+2n\sin x\sin nx\cos nx.$$ $x=0,\pi$では$g'=0$に対し$f'=1,-1$で共通接線を持たない。$\cos nx=0$の内点では両導関数は$\cos x$で一致する。よって接点全体は $$\displaystyle \left(\frac{(2k+1)\pi}{2n},\sin\frac{(2k+1)\pi}{2n}\right)\quad(k=0,\ldots,n-1).$$ 問3では$\displaystyle A_n=\frac1n\sum\limits _{k=0}^{n-1}\sin((k+1/2)\pi/n)$。これは$0\le x\le\pi$の範囲で各小区間の中点を使った区分求積の和を$\pi$で割ったものなので $$\displaystyle \lim A_n=\frac1\pi\int_0^\pi\sin x\,dx=\frac2\pi.$$