3福井大学 2013年 数学 第3問解答・解説

[1] 積和公式 $$\displaystyle \cos(mx)\cos(nx)=\frac12\{\cos((m-n)x)+\cos((m+n)x)\}$$ を用いる。$m\ne n$ のときは $$\displaystyle \boxed{\int\cos(mx)\cos(nx)\,dx =\frac{\sin((m-n)x)}{2(m-n)}+\frac{\sin((m+n)x)}{2(m+n)}+C}.$$ $m=n$ のときは $\cos^2(mx)=(1+\cos(2mx))/2$ より $$\displaystyle \boxed{\int\cos^2(mx)\,dx=\frac x2+\frac{\sin(2mx)}{4m}+C}.$$

[2](1) $s=\sin t,c=\cos t$ とおく。直線 $PQ$ の方程式は $$sx+cy=sc.$$ $t=0$ のときもこの式は $y=0$ を表す。原点からこの直線に下ろした垂線の足を $H$ とすると、$OH$ の方向は $(s,c)$ なので $H=\lambda(s,c)$ と書ける。直線の式へ代入し $s^2+c^2=1$ を使うと $\lambda=sc$。$H$ が線分 $OR$ の中点であることから $$\boxed{R=(2cs^2,\,2c^2s) =(\sin2t\sin t,\,\sin2t\cos t)}.$$ $t=0$ では $R=O$ となり、問題の定義とも一致する。

[2](2) この座標を $(x(t),y(t))$ とする。$0<t\le\pi/4$ で $$x'(t)=2\sin t\,(2-3\sin^2t)>0,$$ また $y(t)\ge x(t)$、等号は $t=0,\pi/4$ だけである。端点は $(0,0)$ と $(1/\sqrt2,1/\sqrt2)$。よって求める面積は $$\displaystyle S=\int_0^{\pi/4}y(t)x'(t)\,dt-\int_0^{1/\sqrt2}x\,dx =I-\frac14$$ と表せる。ただし $\displaystyle I=\int_0^{\pi/4}yx'\,dt$ とした。 部分積分によって $$\displaystyle I+\int_0^{\pi/4}xy'\,dt=[xy]_0^{\pi/4}=\frac12.$$ したがって $$\displaystyle S=\frac12\int_0^{\pi/4}(yx'-xy')\,dt.$$ ここで $r=\sin2t$ とおけば $x=r\sin t,y=r\cos t$ なので、直接展開して $$\begin{aligned} yx'-xy' &=r\cos t(r'\sin t+r\cos t)\\ &\quad-r\sin t(r'\cos t-r\sin t)=r^2=\sin^22t. \end{aligned}$$ 以上より $$\displaystyle S=\frac12\int_0^{\pi/4}\sin^22t\,dt =\left[\frac t4-\frac{\sin4t}{16}\right]_0^{\pi/4} =\boxed{\frac\pi{16}}.$$

【表示上の注記】補助図はこのローカルプレビューでは未表示です。元の図データ・参照は保持しています。座標・範囲・計算・証明は採用稿の本文に記載されています。

図の着色部分が、曲線と直線 $y=x$ に囲まれた領域である。