1福井大学 2013年 数学 第1問解答・解説

辺の長さから、$|\vec a|^2=4, |\vec b|^2=5, |\vec c|^2=7$ である。各辺について $|\vec a-\vec b|^2=3$, $|\vec b-\vec c|^2=4$, $|\vec c-\vec a|^2=5$ を用いると $$\displaystyle \vec a\cdot\vec b=\frac{4+5-3}{2}=3,\quad \vec b\cdot\vec c=\frac{5+7-4}{2}=4,\quad \vec c\cdot\vec a=\frac{7+4-5}{2}=3.$$

$H$ は平面 $OAB$ 上にあるから $\overrightarrow{OH}=x\vec a+y\vec b$ とおける。$CH$ は $OAB$ に垂直なので、$\vec c-x\vec a-y\vec b$ は $\vec a,\vec b$ の両方に垂直である。したがって $$4x+3y=\vec c\cdot\vec a=3,\qquad 3x+5y=\vec c\cdot\vec b=4.$$ この連立方程式を解いて $x=3/11, y=7/11$ を得る。また $CH\perp OH$ なので $\vec c\cdot\overrightarrow{OH}=|OH|^2$ であり、 $$\displaystyle |OH|^2=3x+4y=\frac{37}{11},\qquad |OH|=\sqrt{\frac{37}{11}}.$$

三角形 $OAB$ の面積は、底辺・高さを内積で表した公式から $\displaystyle \frac12\sqrt{|\vec a|^2|\vec b|^2-(\vec a\cdot\vec b)^2}=\frac{\sqrt{11}}2$。 高さ $CH$ は直角三角形 $OHC$ から $\sqrt{|OC|^2-|OH|^2}=\sqrt{7-37/11}=\sqrt{40/11}$。 よって体積は $$\displaystyle \frac13\cdot\frac{\sqrt{11}}2\cdot\sqrt{\frac{40}{11}}=\frac{\sqrt{10}}3.$$