4愛媛大学 2012年 数学 第4問解答・解説

$E$ を原点とし、互いに垂直な単位ベクトルを $\vec a=\overrightarrow{EF},\vec b=\overrightarrow{EH},\vec c=\overrightarrow{EA}$ とする。線分 $AH$ と $ED$ の交点 $K$ について、 $\displaystyle \overrightarrow{EK}=\frac12(\vec b+\vec c)$。比から $\displaystyle \overrightarrow{EL}=\vec a+\vec b+\frac14\vec c$、$\overrightarrow{EM}=p\vec a$。従って $$\displaystyle \overrightarrow{KL}=\vec a+\frac12\vec b-\frac14\vec c,\qquad \overrightarrow{KM}=p\vec a-\frac12\vec b-\frac12\vec c.$$ 内積は $p-1/4+1/8=p-1/8$ なので垂直条件から $p=1/8$。　 直線 $KL$ 上の点 $K+t\overrightarrow{KL}$ の $\vec c$ 成分は $1/2-t/4$。平面 $EFGH$ ではこの成分が0なので $t=2$、よって $\displaystyle \overrightarrow{EQ}=2\vec a+\frac32\vec b$ および $EQ=\sqrt{4+9/4}=5/2$。　 $\displaystyle \vec u=\overrightarrow{EK}=\frac12(\vec b+\vec c)$、$\displaystyle \vec v=\overrightarrow{EQ}=2\vec a+\frac32\vec b$ とすると、$|\vec u|^2=1/2, |\vec v|^2=25/4, \vec u\cdot\vec v=3/4$。従って三角形の面積は $$\displaystyle [EKQ]=\frac12\sqrt{|\vec u|^2|\vec v|^2-(\vec u\cdot\vec v)^2}=\frac12\sqrt{\frac{41}{16}}=\frac{\sqrt{41}}8.$$

単位立方体で$\displaystyle \overrightarrow{EK}=\frac{\vec b+\vec c}{2},\quad\overrightarrow{EL}=\vec a+\vec b+\frac14\vec c,\quad\overrightarrow{EM}=p\vec a$。$\displaystyle \overrightarrow{KL}=\vec a+\frac12\vec b-\frac14\vec c,\quad\overrightarrow{KM}=p\vec a-\frac{\vec b+\vec c}{2}$、直交から$\displaystyle p=\frac18$。平面との交点Qで$\displaystyle EQ=\frac52$、$\displaystyle \text{面積}(\triangle EKQ)=\frac{\sqrt{41}}8$。