9愛媛大学 2012年 数学 第9問解答・解説

(1) 余り 9で割った余りを考えると、$33\equiv6\pmod9$、$6^2\equiv0\pmod9$ より $33^{20}\equiv0\pmod9$ である。10で割った余りを考えると、$33\equiv3\pmod{10}$、$3^4\equiv1\pmod{10}$ より $33^{20}\equiv1\pmod{10}$ である。90で割った余りの候補のうち、9で割り切れ、10で割ると1余るものは81である。したがって余りは $\boxed{81}$。

(2) ベクトル 一辺の長さを1として正六角形の座標を $$A=(0,0),\ B=(1,0),\ C=(3/2,\sqrt3/2),\ D=(1,\sqrt3),\ E=(0,\sqrt3),\ F=(-1/2,\sqrt3/2)$$ とおく。$\vec c=\overrightarrow{AC}$、$\vec e=\overrightarrow{AE}$ であり、$P$ は $CD$ の中点なので $$\displaystyle \overrightarrow{AF}=-\tfrac13\vec c+\tfrac23\vec e,\qquad \overrightarrow{AP}=\tfrac56\vec c+\tfrac13\vec e.$$ これらの差をとると $\displaystyle \boxed{\overrightarrow{FP}=\tfrac76\vec c-\tfrac13\vec e}$ である。

(3) 確率 取り出し方は $\displaystyle \binom{10}{3}=120$ 通りで、いずれも同様に確からしい。取り出した数を小さい順に $a<b<c$ とする。三角形を作れないための必要十分条件は $a+b\le c$ である。最大の数 $c=3,\ldots,10$ のそれぞれについて、この条件を満たす $(a,b)$ の個数は順に $1,2,4,6,9,12,16,20$ で、合計70通りである。したがって三角形を作れる組は50通りであり、求める確率は $$\displaystyle \boxed{\frac{50}{120}=\frac5{12}}.$$

Tags. Unit: modular arithmetic, vectors, probability. Method: simultaneous congruences, coordinate representation in an oblique vector basis, complementary counting. Theme: remainder, affine geometry, triangle inequality.

Quality comparison and disposition Independent derivation was saved before consulting the prior answer. The prior final result agrees: (1) 81; (2) FP=(7/6)c-(1/3)e; (3) probability=5/12.. All final values and the favorable-triple count agree. The original accepted result files and their evidence metadata remain untouched. Prior actual-result evidence was not independently validated, so actual model status stays UNVERIFIED.　 Disposition: mathematics PASS; source eligible; display matched; adopt this independent high-school solution.