8愛媛大学 2012年 数学 第8問解答・解説

選択注記：本問は印刷8番であり、理学部・工学部（環境建設工学科社会デザインコースを除く）の4〜8、医学部の4・6〜9の範囲に含まれる。 $f(x)=\log x$ とおくと $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac1x$ だから、$x=a$ における接線 $\ell$ は $$\displaystyle y=\log a+\frac{x-a}{a}=\frac xa+\log a-1$$ である。$a>e$ より $\log a>1$ なので、$\ell$ と $y$ 軸の交点は $B=(0,\log a-1)$ である。また $y=0$ とおくと $x=a(1-\log a)$ となり、$C=(a(1-\log a),0)$ である。 $\ell$ と座標軸で囲まれる三角形の二つの直角辺の長さは $\log a-1$ および $a(\log a-1)$ である。したがって $\displaystyle S_1(a)=\frac12a(\log a-1)^2$ である。 $\log x$ は $x=1$ で $x$ 軸と交わり、$1\le x\le a$ で非負であるから、部分積分により $$\displaystyle S_2(a)=\int_1^a\log x\,dx=[x\log x-x]_1^a=a\log a-a+1$$ となる。 (3) $t=\log a$ とおくと $2\le t\le3$ であり、$$\displaystyle T(a)=a\log a-a+1-\frac12a(\log a-1)^2=1+\frac12e^t\{1-(t-2)^2\}$$ である。これを $t$ で微分すると $$\displaystyle \frac{dT}{dt}=\frac12e^t\{1-2(t-2)-(t-2)^2\}$$ となる。$u=t-2$ とおけば $0\le u\le1$ で、導関数の符号は $1-2u-u^2$ の符号で決まる。この式は $u=\sqrt2-1$ で0となり、$0\le u<\sqrt2-1$ では正、$\sqrt2-1<u\le1$ では負である。よって $t=1+\sqrt2$（すなわち $a=e^{1+\sqrt2}$）で最大となり、$1-(\sqrt2-1)^2=2(\sqrt2-1)$ より最大値は $1+(\sqrt2-1)e^{1+\sqrt2}$ である。端点では $\displaystyle T(e^2)=1+\frac{e^2}{2}$、$T(e^3)=1$ である。増減とこの端点値から最小値は $1$（$a=e^3$）である。