7愛媛大学 2012年 数学 第7問解答・解説

$$A=\begin{pmatrix}-2&2\\2&1\end{pmatrix},\qquad E=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$$ より $$\displaystyle X=-\frac15(A-2E)=\frac15\begin{pmatrix}4&-2\\-2&1\end{pmatrix},\qquad Y=\frac15(A+3E)=\frac15\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}.$$

(1) 直接掛けると $$\displaystyle XY=YX=\frac1{25}\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}=O_2.$$ また $$\displaystyle X^2=\frac1{25}\begin{pmatrix}20&-10\\-10&5\end{pmatrix}=X,\qquad Y^2=\frac1{25}\begin{pmatrix}5&10\\10&20\end{pmatrix}=Y.$$

(2) $$\displaystyle aX+bY=\frac15\begin{pmatrix}4a+b&-2a+2b\\-2a+2b&a+4b\end{pmatrix}.$$ これを $A$ と比較すると $4a+b=-10$、$-a+b=5$。後式から $b=a+5$ なので、前式に代入して $5a+5=-10$、すなわち $a=-3,b=2$。残る成分も $(a+4b)/5=1$ となり一致する。

(3) $A=-3X+2Y$ であり、(1)より $X^2=X, Y^2=Y, XY=YX=O_2$。また $X+Y=E$ だから $A^0=E=X+Y$。$A^n=(-3)^nX+2^nY$ と仮定すれば $$A^{n+1}=A^nA=\bigl((-3)^nX+2^nY\bigr)(-3X+2Y)=(-3)^{n+1}X+2^{n+1}Y.$$ よって帰納法により $A^n=(-3)^nX+2^nY$。以上の $X,Y$ を代入すると $$\displaystyle A^n=\frac15\begin{pmatrix} 4(-3)^n+2^n&-2(-3)^n+2^{n+1}\\ -2(-3)^n+2^{n+1}&(-3)^n+4\cdot2^n \end{pmatrix}.$$

答え

(1) $XY=YX=O_2,\ X^2=X,\ Y^2=Y$。 (2) $a=-3,\ b=2$。 (3) $\displaystyle A^n=\frac15\begin{pmatrix}4(-3)^n+2^n&-2(-3)^n+2^{n+1}\\-2(-3)^n+2^{n+1}&(-3)^n+4\cdot2^n\end{pmatrix}$。