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徳島大学／2014年度／前期

徳島大学 2014年 数学 第1問解答・解説

数列数学的な表現の工夫極限

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1問題

徳島大学2014年度第1問

A=(34121412)\displaystyle A=\begin{pmatrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\end{pmatrix} とし，行列 AA で表される1次変換を ff とする。ff によって点 P(0,1)P(0,1) が点 P1(x1,y1)P_1(x_1,y_1) に移されるとする。さらに，n=1,2,3,…n=1,2,3,\ldots に対して，点 Pn(xn,yn)P_n(x_n,y_n) が ff によって点 Pn+1(xn+1,yn+1)P_{n+1}(x_{n+1},y_{n+1}) に移されるとする。

(1) すべての自然数 nn について，点 PnP_n は直線 x+y=1x+y=1 上にあることを証明せよ。

(2) xn+1x_{n+1} を xnx_n の式で表せ。さらに，数列 {xn}\{x_n\} の一般項を求めよ。

(3) nn を限りなく大きくするとき，点 PnP_n が近づいていく点の座標を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)xn+yn=1(n≧1).(1)\quad x_n+y_n=1\quad(n\ge1).
    (2)xn+1=14xn+12,xn=23−16(14)n−1.\displaystyle (2)\quad x_{n+1}=\frac14x_n+\frac12,\qquad x_n=\frac23-\frac16\left(\frac14\right)^{n-1}.
    (3)Pn→(23,13).\displaystyle (3)\quad P_n\to\left(\frac23,\frac13\right).

3解答

解答を見る途中式つきの解答

変換の成分表示は (x,y)⟼(34x+12y, 14x+12y)\displaystyle (x,y)\longmapsto\left(\frac34x+\frac12y,\ \frac14x+\frac12y\right) であり、変換の前後で座標の和は変わらない。

(1) 初期点 P=(0,1)P=(0,1) の座標の和は1である。その像 P1P_1 も座標の和は1である。さらに、xn+yn=1x_n+y_n=1 なら xn+1+yn+1=(34+14)xn+(12+12)yn=xn+yn=1.\displaystyle x_{n+1}+y_{n+1} =\left(\frac34+\frac14\right)x_n +\left(\frac12+\frac12\right)y_n =x_n+y_n=1. 数学的帰納法により全ての自然数 nn で xn+yn=1x_n+y_n=1、すなわち PnP_n は直線 x+y=1x+y=1 上にある。

(2) 初期像は P1=(1/2,1/2)P_1=(1/2,1/2) である。(1) より yn=1−xny_n=1-x_n なので xn+1=34xn+12(1−xn)=14xn+12.\displaystyle x_{n+1}=\frac34x_n+\frac12(1-x_n)=\frac14x_n+\frac12. この漸化式の定点は 2/32/3 であり、 xn+1−23=14(xn−23).\displaystyle x_{n+1}-\frac23=\frac14\left(x_n-\frac23\right). 従って x1=1/2x_1=1/2 を用いると xn−23=(14)n−1(12−23)=−16(14)n−1,\displaystyle x_n-\frac23=\left(\frac14\right)^{n-1}\left(\frac12-\frac23\right) =-\frac16\left(\frac14\right)^{n-1}, すなわち xn=23−16(14)n−1=23(1−4−n).\displaystyle x_n=\frac23-\frac16\left(\frac14\right)^{n-1} =\frac23\left(1-4^{-n}\right).

(3) 0<1/4<10<1/4<1 より (1/4)n−1→0(1/4)^{n-1}\to0 だから xn→2/3x_n\to2/3。また yn=1−xny_n=1-x_n より yn→1/3y_n\to1/3。したがって Pn⟶(23,13).\displaystyle \boxed{P_n\longrightarrow\left(\frac23,\frac13\right)}.

この問題で使う考え方

  • 行列の成分計算
  • 数学的帰納法
  • 一次漸化式の解法
  • 等比数列の極限

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