6愛媛大学 2012年 数学 第6問解答・解説

(1) $a_n=\lfloor\sqrt{n-1}\rfloor$ より $$\boxed{a_1=0,\quad a_2=1,\quad a_3=1,\quad a_4=1,\quad a_5=2.}$$

(2) $a_n=5$ であるための条件は $$5\le\sqrt{n-1}<6,$$ すなわち $25\le n-1<36$ である。従って $n=26,27,\ldots,36$ となり、該当する自然数は $$\boxed{11\text{ 個}}$$ である。

(3) $k=1,\ldots,n^2$ に対して $k-1$ は $0,1,\ldots,n^2-1$ を動く。$j=0,1,\ldots,n-1$ ごとに $$j^2\le k-1<(j+1)^2$$ を満たす整数 $k-1$ は $(j+1)^2-j^2=2j+1$ 個あり、その間 $a_k=j$ である。この区間分けは $0$ から $n^2-1$ までを過不足なく覆うので $$\displaystyle \begin{aligned} S(n)&=\sum\limits _{j=0}^{n-1}j(2j+1)\\ &=2\sum\limits _{j=0}^{n-1}j^2+\sum\limits _{j=0}^{n-1}j\\ &=2\cdot\frac{(n-1)n(2n-1)}6+\frac{(n-1)n}{2}\\ &=\boxed{\frac{n(n-1)(4n+1)}6}. \end{aligned}$$

(4) したがって $$\displaystyle \frac{S(n)}{n^3}=\frac16\left(1-\frac1n\right)\left(4+\frac1n\right)\longrightarrow\boxed{\frac23}.$$

(1)(2)は床関数の定義を平方して評価する。(3)では平方数の間ごとに同じ床関数値を取る項をまとめる。(4)は整理した三次式を $n^3$ で割り、各因子の極限を取る。