I日本医科大学 2009年 数学 第I問解答・解説

(1) 7で割った余りを考えると、$2,2^2,2^3$ の余りは順に $2,4,1$ である。$2^3\equiv1\pmod7$ だから、余りは3乗ごとに繰り返す。したがって、1余る最小の自然数は $n=3$ であり、$2^{12}$ の余りは1である。また $2009=3\cdot669+2$ より $2^{2009}\equiv2^2\equiv4\pmod7$。さらに、$2\equiv-1\pmod3$ かつ2009は奇数だから $2^{2009}\equiv2\pmod3$。よって指数を3で割った余りが2であることから、$2^{2^{2009}}\equiv2^2\equiv4\pmod7$。

(2) サイコロ3回の出方を順序つきで数えると、全部で $6^3=216$ 通りが同様に確からしい。Aの得点 $a$ が5以下であるには、Aの2個の目がともに5以下であればよいので、確率は $(5/6)^2=25/36$。同様に、$a\leq4$ の確率は $(4/6)^2=4/9$ である。

Bの目が $j$ のときBが勝つには、Aの2個の目がともに $j-1$ 以下である。したがってBが勝つ場合の数は $$\displaystyle \sum\limits _{j=1}^{6}(j-1)^2=0^2+1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=55$$ 通りであり、勝つ確率は $55/216$。引き分けについては、Aの2個の目の最大値が $j$ となる出方が $j^2-(j-1)^2=2j-1$ 通りあり、そのときBも $j$ を出す1通りが対応する。よって引き分けの出方は $$\displaystyle \sum\limits _{j=1}^{6}(2j-1)=36$$ 通りであり、確率は $36/216=1/6$ である。

(3) $x_0=1$ である。$2m$ は偶数なので $P_{2m+1}$ は $OP_{2m}$ の中点であり、 $$\displaystyle x_{2m+1}=\frac12x_{2m}.$$ $2m+1$ は奇数で、$P_{2m+2}$ は線分 $P_{2m+1}P_0$ を $1:2$ に内分する。したがって $$\displaystyle x_{2m+2}=\frac{2x_{2m+1}+x_0}{3}=\frac23x_{2m+1}+\frac13.$$ これに最初の式を代入すると $$\displaystyle x_{2m+2}=\frac13x_{2m}+\frac13.$$ $y_m=x_{2m}$ とおくと $y_0=1$ で、$\displaystyle y_{m+1}-\frac12=\frac13(y_m-\frac12)$。よって $$\displaystyle x_{2m}=y_m=\frac12+\frac{1}{2\cdot3^m}\longrightarrow\frac12.$$ また $\displaystyle x_{2m+1}=\frac12x_{2m}$ なので $\displaystyle x_{2m+1}\longrightarrow\frac14$。各係数と極限は問題文の順に $\displaystyle \text{ケ}=\frac12,\ \text{コ}=\frac23,\ \text{サ}=\frac13,\ \text{シ}=\frac13,\ \text{ス}=\frac13,\ \text{セ}=\frac12,\ \text{ソ}=\frac14$ である。