III日本医科大学 2009年 数学 第III問解答・解説

放物線上の点を $(x,y)$、準線を $y=c$ とすると、焦点が原点であることから $$\sqrt{x^2+y^2}=|y-c|.$$ 両辺は非負なので二乗は同値変形であり、整理すると $x^2=c^2-2cy$ を得る。したがって、$c\ne0$ に対し $$\displaystyle D_c:\quad y=\frac c2-\frac{x^2}{2c}\quad(x\ge0).$$ 特に $a,b>0$ として $$\displaystyle F_a(x)=\frac a2-\frac{x^2}{2a},\qquad G_b(x)=-\frac b2+\frac{x^2}{2b}$$ とおけば、$D_a$ は $y=F_a(x)$、$D_{-b}$ は $y=G_b(x)$ で表される。

(1) 交点では $$\displaystyle \frac{a+b}{2}=\frac{x^2}{2}\left(\frac1a+\frac1b\right),$$ ゆえに $x^2=ab$。$x\ge0$ より $x=\sqrt{ab}$ であり、これを曲線式に代入して $y=(a-b)/2$ を得る。よって $$\displaystyle P_{a,-b}=\left(\sqrt{ab},\frac{a-b}{2}\right).$$

(2) $0\le x\le\sqrt{ab}$ では $$\displaystyle F_a(x)-G_b(x)=\frac{a+b}{2}\left(1-\frac{x^2}{ab}\right)\ge0.$$ したがって、求める面積は $$\displaystyle \int_0^{\sqrt{ab}}\{F_a(x)-G_b(x)\}\,dx =\frac{a+b}{2}\left[x-\frac{x^3}{3ab}\right]_0^{\sqrt{ab}} =\frac{a+b}{3}\sqrt{ab}.$$

(3) $0<r<a$、$0<r<b$ とする。正の $c,d$ に対し、$D_c,D_{-d}$ と $y$ 軸で囲まれる領域の面積を $T(c,d)$ とおく。(2)より $$\displaystyle T(c,d)=\frac{c+d}{3}\sqrt{cd}.$$ 任意の $x\ge0$ で $$\displaystyle F_{a+r}(x)-F_{a-r}(x)=r+\frac{rx^2}{a^2-r^2}>0,\qquad G_{b-r}(x)-G_{b+r}(x)=r+\frac{rx^2}{b^2-r^2}>0.$$ よって4曲線で囲まれる領域は、$x\ge0$ で $F_{a-r}(x)\le y\le F_{a+r}(x)$ と $G_{b+r}(x)\le y\le G_{b-r}(x)$ をともに満たす部分である。$T(a+r,b+r)$ に対応する領域から $T(a+r,b-r)$ と $T(a-r,b+r)$ に対応する領域を除き、重複して除いた $T(a-r,b-r)$ に対応する領域を戻す。したがって面積について厳密に $$S(a,b,r)=T(a+r,b+r)-T(a+r,b-r)-T(a-r,b+r)+T(a-r,b-r)$$ が成り立つ。$u=a,b$ に対して $$U_u(r)=\sqrt{u+r}-\sqrt{u-r},\qquad V_u(r)=(u+r)^{3/2}-(u-r)^{3/2}$$ とおく。$\displaystyle T(c,d)=\frac{c^{3/2}d^{1/2}+c^{1/2}d^{3/2}}{3}$ だから $$\displaystyle \frac{S(a,b,r)}{r^2} =\frac13\left\{\frac{V_a(r)}r\frac{U_b(r)}r+ \frac{U_a(r)}r\frac{V_b(r)}r\right\}.$$ ここで $u>0$ を固定すると、有理化と立方差の因数分解により $$\displaystyle \frac{U_u(r)}r=\frac{2}{\sqrt{u+r}+\sqrt{u-r}}\longrightarrow\frac1{\sqrt u},$$ $$\displaystyle \frac{V_u(r)}r=\frac{U_u(r)}r \left\{(u+r)+\sqrt{u^2-r^2}+(u-r)\right\} \longrightarrow 3\sqrt u \qquad(r\to+0).$$ これを $u=a,b$ に適用して $$\displaystyle f(a,b)=\lim\limits _{r\to+0}\frac{S(a,b,r)}{r^2} =\frac13\left(3\sqrt{\frac ab}+3\sqrt{\frac ba}\right) =\frac{a+b}{\sqrt{ab}}.$$

(4) $P_{a,-b}=(x,y)$ とおくと $x=\sqrt{ab}>0$、$y=(a-b)/2$ であり、 $$a+b=2\sqrt{x^2+y^2}.$$ したがって条件 $f(a,b)<4$ は $$2\sqrt{x^2+y^2}<4x \quad\text{すなわち}\quad x>0,\quad y^2<3x^2 \quad\text{すなわち}\quad x>0,\quad -\sqrt3x<y<\sqrt3x$$ と同値である。逆に、この不等式を満たす $(x,y)$ に対し $$a=\sqrt{x^2+y^2}+y,\qquad b=\sqrt{x^2+y^2}-y$$ と定めると、$x>0$ より $a,b>0$ で、$ab=x^2$、$(a-b)/2=y$ となる。ゆえに範囲はちょうど、原点を除き、傾き $\pm\sqrt3$ の2直線を境界として含まない右側の開いたくさび形の領域である。

存在範囲を下図の薄青色部分に示す。2本の破線は $y=\sqrt3x$、$y=-\sqrt3x$の境界であり、どちらも範囲に含まない。 原点$O$も白丸で示して除外する。図形は右方へ限りなく続き、 図の右端や上下端は表示範囲の切れ目であって領域の境界ではない。