1北里大学 2003年 数学 第1問解答・解説

(1) 放物線は $y=(x-2)^2$ と表せる。$x$ 軸との交点は $(2,0)$、$y$ 軸との交点は $(0,4)$ なので、図形 $D$ は $0\leq x\leq2$ で曲線の下側にある。したがって面積は $$\displaystyle \int_0^2 (x-2)^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}-2x^2+4x\right]_0^2=\frac83.$$ $y$ 軸のまわりに回転するとき、$0\leq y\leq4$ における断面は半径 $2-\sqrt y$ の円である。よって回転体の体積は $$\displaystyle \pi\int_0^4(2-\sqrt y)^2\,dy =\pi\left[4y-\frac83y^{3/2}+\frac{y^2}{2}\right]_0^4 =\pi\left(24-\frac{64}{3}\right)=\frac{8\pi}{3}.$$

(2) 直線は $y=m(x-1)$ である。楕円の式に代入すると $$(1+4m^2)x^2-8m^2x+4m^2-4=0.$$ この判別式は $16(1+3m^2)>0$ なので、すべての実数 $m$ について二つの交点をもつ。交点の $x$ 座標を $x_1,x_2$ とすると、解と係数の関係より $$\displaystyle x_1+x_2=\frac{8m^2}{1+4m^2}.$$ したがって中点の座標は $$\displaystyle X=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{4m^2}{1+4m^2},\qquad Y=m(X-1)=-\frac{m}{1+4m^2}.$$ 分母は正であり、$1+4m^2\geq4|m|$（差は $(2|m|-1)^2$）だから $\displaystyle |Y|\leq\frac14$。等号は $\displaystyle m=\pm\frac12$ で実現する。さらに任意の $y_0\neq0$ について $Y=y_0$ は $4y_0m^2+m+y_0=0$ と同値であり、その判別式は $1-16y_0^2$ である。$\displaystyle |y_0|\leq\frac14$ なら実数解 $m$ が存在する。また $y_0=0$ は $m=0$ で実現する。よって値の範囲は $\displaystyle -\frac14\leq Y\leq\frac14$ である。

(3) $z=x+iy$ を代入して実部・虚部を計算すると $$(1-2i)z+(1+2i)\bar z=2x+4y.$$ したがって直線 $\ell$ は $x+2y=10$、すなわち $\displaystyle y=5-\frac{x}{2}$ である。原点を中心とする円がこの直線に接するとき、接点への半径は直線に垂直である。直線の法線方向は $(1,2)$ なので、原点から接点へ向かう直線は $y=2x$。これと $x+2y=10$ を連立して接点は $(2,4)$、よって $\alpha=2+4i$ となる。実係数の二次方程式が非実数 $\alpha$ を解にもつとき、共役な $\bar\alpha=2-4i$ も解である。解と係数の関係から $$p=-(\alpha+\bar\alpha)=-4,\qquad q=\alpha\bar\alpha=2^2+4^2=20.$$

(4)(i) まず9個のますから黒石を置く3個を選び、残り6個から白石を置く3個を選ぶので、置き方は $$\displaystyle \binom93\binom63=84\cdot20=1680$$ 通りである。

(ii) 黒石が並ぶ列は縦3列または横3列の計6通りである。3個の黒石が二つの列を同時にすべて埋めることはできない。列を一つ決めた後、残り6ますから白石の3ますを選ぶ方法は $\displaystyle \binom63=20$ 通りだから、総数は $6\cdot20=120$ 通りである。

(iii) 3個の黒石がすべての横列・縦列に少なくとも一つずつあるには、各横列と各縦列に黒石がちょうど一つずつ必要である。黒石の配置は置換行列型の配置で $3!=6$ 通り。白石についても各横列・縦列に少なくとも一つずつ置くので、3個の白石も各列に一つずつの配置となる。固定した黒石配置に対する白石の列番号の対応は、各行で黒石と別の列を選び、全3列を一度ずつ使う3行の完全不一致置換である。列番号を黒石配置に合わせて並べ替えると、この置換は (2,3,1) または (3,1,2) の2通りである。したがって総数は $6\cdot2=12$ 通りである。