3北里大学 2003年 数学 第3問解答・解説

(1) もし $A$ が逆行列をもつならば、$A^3=A^2$ の両辺に左から $A^{-2}$ をかけて $A=E$ を得る。これは条件 $A\ne E$ に反する。したがって $A$ は逆行列をもたない。

(2) $t=a+d$ とおく。(1)より $ad-bc=0$、すなわち $bc=ad$ である。直接計算すると $$A^2=\begin{pmatrix}a^2+bc&b(a+d)\\c(a+d)&bc+d^2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}at&bt\\ct&dt\end{pmatrix}=tA.$$ 従って $A^3=tA^2=t^2A$ であり、条件 $A^3=A^2$ は $t(t-1)A=O$ と同値。$A=O$ なら $t=0$、$A\ne O$ なら $t=0$ または $t=1$。実際、$A=O$ と $A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$ はそれぞれ条件を満たすため、$a+d$ の値は $$\boxed{0,\ 1}.$$

(3) 条件 $\displaystyle A\binom11=\binom10$ より $a+b=1,\ c+d=0$、すなわち $b=1-a,\ d=-c$。また(1)より $ad-bc=0$ だから $$ad-bc=a(-c)-(1-a)c=-c=0,$$ 従って $c=d=0$。よって $A=\begin{pmatrix}a&1-a\\0&0\end{pmatrix}$ であり、$a+d=a$ は(2)より0または1。したがって $$\boxed{A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} \quad\text{または}\quad \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}.$$ いずれも元の条件と追加条件を満たす。