4筑波大学 2003年 数学 第4問解答・解説

（1）$$P=A-E=\begin{pmatrix}a-1&-b\\3&2-a\end{pmatrix}.$$ $x=a-1$とおけば$$P=\begin{pmatrix}x&-b\\3&1-x\end{pmatrix},\qquad P^2-P=\begin{pmatrix}x^2-x-3b&0\\0&(1-x)^2-(1-x)-3b\end{pmatrix}.$$ ここで$(1-x)^2-(1-x)=x^2-x$なので、$P^2=P$となる条件は$$x^2-x-3b=0,$$ すなわち$3b=(a-1)(a-2)$である。

（2）Aの成分がすべて整数ならば$a,b$ はともに整数であり、（1）より$3\mid(a-1)(a-2)$。$a$ を3で割った余りが0なら積の余りは2、余りが1または2なら積は3で割り切れる。したがって必要十分条件は$$a\equiv1\text{ または }2\pmod3.$$ 逆に、この条件なら$b=(a-1)(a-2)/3$も整数となる。よって条件は$a=3k+1$または$a=3k+2$（$k$ は整数）である。

（3）$A=P+E$かつ$P^2=P$より$$A(sP+tE)=(P+E)(sP+tE)=(2s+t)P+tE.$$ これが$E$に等しい。(2,1)成分を比べると、$P$ の同成分は3、$E$ の同成分は0なので$3(2s+t)=0$、すなわち$2s+t=0$。これを代入すると$tE=E$ だから$t=1$、さらに$\displaystyle s=-\frac12$ である。実際、$P^2=P$ より左右どちらの順でも$$\displaystyle (P+E)(E-\tfrac12P)=E,\qquad (E-\tfrac12P)(P+E)=E.$$ したがって$\displaystyle A^{-1}=E-\frac12P$。