2筑波大学 2003年 数学 第2問解答・解説

(1) 原点で関数が定義されるには$b\ne0$であり、 $$\displaystyle f'(0)=\lim\limits _{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim\limits _{h\to0}\frac1{h^2+ah+b}=\frac1b.$$ 接線$y=x$の傾きは1なので$1/b=1$、したがって$b=1$。

(2) $x\ne0$で $$\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^2+ax+1}=\frac{1/x}{1+a/x+1/x^2}.$$ 分母は$x\to\pm\infty$で1に近づき、分子は0に近づくから両極限は0。

(3) 分母を$Q(x)=x^2+ax+1$とおくと、 $$\displaystyle f'(x)=\frac{Q(x)-x(2x+a)}{Q(x)^2}=\frac{1-x^2}{Q(x)^2}.$$ $|a|<2$なら$Q(x)=(x+a/2)^2+1-a^2/4>0$で、定義域は実数全体である。導関数は$x<-1$で負、$-1<x<1$で正、$x>1$で負だから、$x=-1$で最小、$x=1$で最大となる。 $$\displaystyle f(-1)=-\frac1{2-a},\qquad f(1)=\frac1{a+2}.$$ $|a|\ge2$では分母に実根があり、関数はその根で定義されない。$|a|>2$では単根の極の両側で関数が上下に発散し、$a=2$では下に、$a=-2$では上に発散するため、最大値と最小値をともにもつことはない。ゆえに求める範囲は$-2<a<2$。

(4) (3)の分類より、最大値はもつが最小値はもたない場合は端点$a=2$である。実際、$f(x)=x/(x+1)^2\ (x\ne-1)$に対して $$\displaystyle \frac14-f(x)=\frac{(x-1)^2}{4(x+1)^2}\ge0,$$ 等号は$x=1$で成立する。また$x\to-1$で$f(x)\to-\infty$なので最小値はない。したがって最大値は$1/4$。