筑波大学／2003年度

筑波大学 2003年数学第6問解答・解説

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1問題

筑波大学2003年度第6問

A大学の入学試験では, 1200人の入学定員に対して4540人の受験者があった。入学試験問題は800点満点で, 受験者全体の成績の分布は, 平均395点, 標準偏差130点の正規分布とみなしてよいとする。このとき, 合格者数を1200人として, 次の問いに答えよ。ただし, 必要があれば次頁の正規分布表を用いてよい。また, 試験の成績は整数値とする。

(1) B君が自己採点をしたところ616点であった。B君は上位何パーセント以内に入ると予想されるか，小数第1位未満を四捨五入して答えよ。

(2) 合格するには少なくとも何点以上の成績であればよいか。

(3) C高校からの受験者300人の成績の分布は，平均463点，標準偏差100点の正規分布とみなしてよいとする。この300人の何パーセントが合格できると予想されるか，小数第1位未満を四捨五入して答えよ。

正規分布表

y軸と z軸のある釣鐘形の曲線の図。z軸上に −u、O、u と記し、Oからuまでの曲線下が斜線で塗られ、その部分に p(u) のラベルが付いている。

u	.00	.01	.02	.03	.04	.05	.06	.07	.08	.09
0.0	0.0000	0.0040	0.0080	0.0120	0.0160	0.0199	0.0239	0.0279	0.0319	0.0359
0.1	0.0398	0.0438	0.0478	0.0517	0.0557	0.0596	0.0636	0.0675	0.0714	0.0753
0.2	0.0793	0.0832	0.0871	0.0910	0.0948	0.0987	0.1026	0.1064	0.1103	0.1141
0.3	0.1179	0.1217	0.1255	0.1293	0.1331	0.1368	0.1406	0.1443	0.1480	0.1517
0.4	0.1554	0.1591	0.1628	0.1664	0.1700	0.1736	0.1772	0.1808	0.1844	0.1879
0.5	0.1915	0.1950	0.1985	0.2019	0.2054	0.2088	0.2123	0.2157	0.2190	0.2224
0.6	0.2257	0.2291	0.2324	0.2357	0.2389	0.2422	0.2454	0.2486	0.2517	0.2549
0.7	0.2580	0.2611	0.2642	0.2673	0.2704	0.2734	0.2764	0.2794	0.2823	0.2852
0.8	0.2881	0.2910	0.2939	0.2967	0.2995	0.3023	0.3051	0.3078	0.3106	0.3133
0.9	0.3159	0.3186	0.3212	0.3238	0.3264	0.3289	0.3315	0.3340	0.3365	0.3389
1.0	0.3413	0.3438	0.3461	0.3485	0.3508	0.3531	0.3554	0.3577	0.3599	0.3621
1.1	0.3643	0.3665	0.3686	0.3708	0.3729	0.3749	0.3770	0.3790	0.3810	0.3830
1.2	0.3849	0.3869	0.3888	0.3907	0.3925	0.3944	0.3962	0.3980	0.3997	0.4015
1.3	0.4032	0.4049	0.4066	0.4082	0.4099	0.4115	0.4131	0.4147	0.4162	0.4177
1.4	0.4192	0.4207	0.4222	0.4236	0.4251	0.4265	0.4279	0.4292	0.4306	0.4319
1.5	0.4332	0.4345	0.4357	0.4370	0.4382	0.4394	0.4406	0.4418	0.4429	0.4441
1.6	0.4452	0.4463	0.4474	0.4484	0.4495	0.4505	0.4515	0.4525	0.4535	0.4545
1.7	0.4554	0.4564	0.4573	0.4582	0.4591	0.4599	0.4608	0.4616	0.4625	0.4633
1.8	0.4641	0.4649	0.4656	0.4664	0.4671	0.4678	0.4686	0.4693	0.4699	0.4706
1.9	0.4713	0.4719	0.4726	0.4732	0.4738	0.4744	0.4750	0.4756	0.4761	0.4767
2.0	0.4772	0.4778	0.4783	0.4788	0.4793	0.4798	0.4803	0.4808	0.4812	0.4817
2.1	0.4821	0.4826	0.4830	0.4834	0.4838	0.4842	0.4846	0.4850	0.4854	0.4857
2.2	0.4861	0.4864	0.4868	0.4871	0.4875	0.4878	0.4881	0.4884	0.4887	0.4890
2.3	0.4893	0.4896	0.4898	0.4901	0.4904	0.4906	0.4909	0.4911	0.4913	0.4916
2.4	0.4918	0.4920	0.4922	0.4925	0.4927	0.4929	0.4931	0.4932	0.4934	0.4936
2.5	0.4938	0.4940	0.4941	0.4943	0.4945	0.4946	0.4948	0.4949	0.4951	0.4952
2.6	0.49534	0.49547	0.49560	0.49573	0.49585	0.49598	0.49609	0.49621	0.49632	0.49643
2.7	0.49653	0.49664	0.49674	0.49683	0.49693	0.49702	0.49711	0.49720	0.49728	0.49736
2.8	0.49744	0.49752	0.49760	0.49767	0.49774	0.49781	0.49788	0.49795	0.49801	0.49807
2.9	0.49813	0.49819	0.49825	0.49831	0.49836	0.49841	0.49846	0.49851	0.49856	0.49861
3.0	0.49865	0.49869	0.49874	0.49878	0.49882	0.49886	0.49889	0.49893	0.49897	0.49900

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

(1) 標準化すると $\displaystyle z=\frac{616-395}{130}=1.7.$ 正規分布表より平均から $z=1.70$ までの面積は $0.4554$ なので、上位の割合は $0.5-0.4554=0.0446=4.46\%\simeq4.5\%.$

(2) 合格者の割合は $\displaystyle \frac{1200}{4540}\simeq0.2643.$ したがって平均から合格点までの面積は $0.5-0.2643\simeq0.2357$ 。表の値から対応する標準得点は $z=0.63$ であり、合格点の境界は $395+130\cdot0.63=476.9.$ 試験の点数は整数だから、少なくとも $477$ 点必要である。

(3) $477$ 点を基準に標準化すると $\displaystyle z=\frac{477-463}{100}=0.14.$ 表より平均から $z=0.14$ までの面積は $0.0557$ なので、合格する割合は $0.5-0.0557=0.4443=44.43\%\simeq44.4\%.$

この問題で使う考え方

正規分布の標準化
正規分布表
上側確率
整数得点の切上げ

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