5鹿児島大学 2014年 数学 第5問解答・解説

以下、問題5の選択肢 5-1〜5-4 の全てについて解答する。

5-1 (1) 反時計回り $150^\circ$ の回転行列を $P$ とすると、求める点は逆回転で得られる。 $$\displaystyle P^{-1}\binom{2}{4} =\begin{pmatrix}-\frac{\sqrt3}{2}&\frac12\\-\frac12&-\frac{\sqrt3}{2}\end{pmatrix}\binom{2}{4} =\binom{2-\sqrt3}{-1-2\sqrt3}.$$ したがって $(x,y)=(2-\sqrt3,-1-2\sqrt3)$ である。

5-1 (2) $P^n$ は $150n^\circ$ の回転を表す。これが恒等行列となる条件は $150n=360k$（整数 $k$）であり、$5n=12k$。$5$ と $12$ は互いに素だから最小の正の整数は $n=12$ である。

5-1 (3)

(a) $X=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$、$Y=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ とする。このとき $XY=Y$ だが $YX=O$ なので、$XY\ne YX$。

(b) $X=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$、$Y=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$ とすると、どちらも零行列ではなく、$XY=O$ となる。

(c) $A=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}$、$X=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$、$Y=\begin{pmatrix}0&2\\0&0\end{pmatrix}$ とする。$A$ は可逆で、$AX=Y$ である一方、$YA^{-1}=Y\ne X$。よって主張は成り立たない。

5-2 (1) $C$ では $x=c/(s^2+c^2)$、$y=s/(s^2+c^2)$ だから、 $$\displaystyle x^2+y^2=\frac{1}{s^2+c^2}=\frac{x}{c},\qquad \left(x-\frac{1}{2c}\right)^2+y^2=\frac{1}{4c^2}.$$ また $x\ne0$ なので原点は含まれない。逆に、この円上の原点以外の点では $x\ne0$ であり、$s=cy/x$ と置けば与えられた媒介変数表示に戻る。したがって $C$ はこの円から原点を除いた曲線である。同様に $D$ では $x^2+y^2=y/d$ となり、 $$\displaystyle x^2+\left(y-\frac{1}{2d}\right)^2=\frac{1}{4d^2}.$$ $D$ 上では $y\ne0$、逆にこの円上の原点以外では $t=dx/y$ と置けるので、$D$ も円から原点を除いた曲線である。

5-2 (2) 交点では $x^2+y^2=x/c=y/d$ だから $cy=dx$。これを $x^2+y^2=x/c$ に代入すると $$x\bigl((c^2+d^2)x-c\bigr)=0.$$ 原点は曲線から除かれているので、 $$\displaystyle (x,y)=\left(\frac{c}{c^2+d^2},\frac{d}{c^2+d^2}\right).$$ この点は $C$ では $s=d$、$D$ では $t=c$ に対応し、実際に両曲線上にある。

5-2 (3) $C$ の円の中心は $O_C=(1/(2c),0)$ である。交点 $P=(c/S,d/S)$（ただし $S=c^2+d^2$）に対し、半径方向のベクトルは $$\displaystyle \overrightarrow{O_CP}=\left(\frac{c^2-d^2}{2cS},\frac{d}{S}\right).$$ 従って、これに平行な法線をもつ接線の方程式は $$\displaystyle (c^2-d^2)\left(x-\frac{c}{S}\right)+2cd\left(y-\frac{d}{S}\right)=0,$$ すなわち $(c^2-d^2)x+2cd y=c$ である。

5-3 (1) $X,Y$ は独立で、$P(X=1)=a$、$P(X=2)=1-a$、$P(Y=2)=b$、$P(Y=4)=1-b$ である。よって同時確率表は $$\begin{array}{c|cc|c} X\backslash Y&2&4&\text{計}\\\hline 1&ab&a(1-b)&a\\ 2&(1-a)b&(1-a)(1-b)&1-a\\\hline \text{計}&b&1-b&1 \end{array}$$ となる。

5-3 (2) $E(X)=2-a$、$E(Y)=4-2b$ より $$E(W)=E(X-Y)=2b-a-2.$$

5-3 (3) $Z=Y/X$ の値は、$(X,Y)=(1,2),(1,4),(2,2),(2,4)$ の順に $2,4,1,2$ である。従って $$P(Z=1)=(1-a)b,\quad P(Z=2)=ab+(1-a)(1-b)=1-a-b+2ab,\quad P(Z=4)=a(1-b),$$ $$E(Z)=2+2a-b-ab.$$

5-3 (4) 条件 $E(W)=-3/2$ から $a=2b-1/2$。これを $E(Z)=9/4$ に代入すると $$8b^2-14b+5=0,$$ よって $b=5/4$ または $b=1/2$。$0<b<1$ より $b=1/2$、従って $a=1/2$。このとき $P(Z=1,2,4)=(1/4,1/2,1/4)$ だから $$\displaystyle V(Z)=E(Z^2)-E(Z)^2=\left(\frac14+4\cdot\frac12+16\cdot\frac14\right)-\left(\frac94\right)^2=\frac{19}{16}.$$

5-4 (1) 母平均の条件は $(a+2)/(a+1)=3/2$ なので $a=1$。各回で数字2を得る確率は $1/2$ である。3回のうち数字2が出た回数を $K$ とすると $K$ は二項分布 $(3,1/2)$ に従い、標本平均は $\bar X=1+K/3$。よって $$\displaystyle \begin{array}{c|cccc} \bar X&1&4/3&5/3&2\\\hline P&1/8&3/8&3/8&1/8 \end{array},\qquad V(\bar X)=\frac{1}{9}V(K)=\frac{1}{9}\cdot\frac34=\frac{1}{12}.$$

5-4 (2) 採用率は $300/500=0.6$ なので、最低点より下の割合は $0.4$。与えられた標準正規分布の確率と対称性から下側 $0.4$ の点は $z=-0.25$ である。得点の境界は $$245+50(-0.25)=232.5.$$ 小数点以下を切り上げ、合格最低点は $233$ 点である。