1鹿児島大学 2014年 数学 第1問解答・解説

(1) $x=\angle ABE$, $\alpha=\angle BAC$ とおく。条件より $\angle AEB=2x$, $\displaystyle \angle ACD=\frac{x}{2}$ である。三角形 $ABE$ の内角の和から $$\alpha+x+2x=180^\circ,\qquad \alpha=180^\circ-3x.$$ また、$AD$ は $AB$ と同一直線上にあるので $\angle CAD=\alpha$ であり、三角形 $ACD$ の内角の和から $$\displaystyle \angle ADC=180^\circ-\alpha-\frac{x}{2}.$$ $F$ は線分 $CD$, $BE$ 上にあるため $\angle ADF=\angle ADC$, $\angle AEF=\angle AEB$ である。四角形 $ADFE$ は円に内接するから、対角の和は $180^\circ$ となり、 $$\displaystyle \left(180^\circ-\alpha-\frac{x}{2}\right)+2x=180^\circ,\qquad \alpha=\frac{3x}{2}.$$ これと $\alpha=180^\circ-3x$ を合わせると $\displaystyle 180^\circ-3x=\frac{3x}{2}$ より $x=40^\circ$, $\alpha=60^\circ$。検算すると $\angle AEB=80^\circ=2\cdot40^\circ=4\cdot20^\circ=4\angle ACD$ であり、$\angle ADC=100^\circ$ と $\angle AEB=80^\circ$ の和も $180^\circ$ となる。

(2) さいころ1個で3の倍数の目が出るのは $3,6$ の2通りなので、その確率は $\displaystyle \frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ である。4個のさいころの出方は独立だから、求める確率は $$\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^4=\frac{1}{81}.$$

(3)(a) 真である。$x+y$ が有理数であると仮定すると、有理数の差は有理数なので $x=(x+y)-y$ も有理数となる。これは $x$ が無理数であることに反する。したがって $x+y$ は無理数である。

(3)(b) 偽である。$x=\sqrt{2}$, $y=2-\sqrt{2}$ とする。$1<\sqrt{2}<2$ より $x,y$ はともに正である。また、$y$ が有理数なら $\sqrt{2}=2-y$ も有理数となって矛盾するから、$y$ は無理数である。しかし $x+y=2$ は有理数である。