鹿児島大学 2014年数学第3問解答・解説

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1問題

鹿児島大学2014年度第3問

$r$ を実数とする。 $\{a_{n}\}$ を $a_{1}=1,\quad a_{2}=3,\quad a_{n+2}=ra_{n+1}-4a_{n}\quad(n=1,2,3,\ldots)$ で定められる数列とする。次の各問いに答えよ。

(1) $r=0$ の場合に，以下のそれぞれについて一般項 $a_{n}$ を $n$ の式で表せ。

(i) $n$ が奇数のとき。

(ii) $n$ が偶数のとき。

(2) $r=5$ の場合に，次の (a)，(b) に答えよ。

(a) 数列 $\{b_{n}\},\ \{c_{n}\}$ を $b_{n}=a_{n+1}-a_{n}\quad(n=1,2,3,\ldots)$ $c_{n}=a_{n+1}-4a_{n}\quad(n=1,2,3,\ldots)$ で定めるとき，一般項 $b_{n},c_{n}$ を求めよ。

(b) 一般項 $a_{n}$ を求めよ。

(3) $r=4$ の場合に，次の (c)，(d) に答えよ。

(c) 数列 $\{d_{n}\}$ を $\displaystyle d_{n}=\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}-\frac{a_{n}}{2^{n}}\quad(n=1,2,3,\ldots)$ で定めるとき，一般項 $d_{n}$ を求めよ。

(d) 一般項 $a_{n}$ を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)(i)
$a_{2k+1}=(-4)^k (k≥0)$
(1)(ii)
$a_{2k}=3(-4)^{k-1} (k≥1)$
(2)(a)
$b_n=2·4^{n-1}, c_n=−1$
(2)(b)
$a_n=(2·4^{n-1}+1)/3$
(3)(c)
$d_n=1/4$
(3)(d)
$a_n=(n+1)2^{n-2}$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $r=0$ なら $a_{n+2}=-4a_n$ 。奇数番目と偶数番目がそれぞれ2つおきに同じ比 $-4$ で進むため、 $a_{2k+1}=(-4)^k$ （ $k\ge0$ ）、 $a_{2k}=3(-4)^{k-1}$ （ $k\ge1$ ）。

(2) $r=5$ のとき $b_{n+1}=a_{n+2}-a_{n+1}=4(a_{n+1}-a_n)=4b_n,\quad c_{n+1}=a_{n+2}-4a_{n+1}=c_n.$ $b_1=2$ , $c_1=-1$ なので $b_n=2\cdot4^{n-1}$ , $c_n=-1$ 。さらに $\displaystyle a_n=a_1+\sum\limits _{k=1}^{n-1}b_k=1+2\frac{4^{n-1}-1}{3}=\frac{2\cdot4^{n-1}+1}{3}.$

(3) $r=4$ とし $d_n=a_{n+1}/2^{n+1}-a_n/2^n$ とおく。漸化式から $\displaystyle d_{n+1}=\frac{4a_{n+1}-4a_n}{2^{n+2}}-\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}=d_n.$ $d_1=3/4-1/2=1/4$ より $d_n=1/4$ 。従って $\displaystyle \frac{a_n}{2^n}-\frac{a_1}{2}=\sum\limits _{k=1}^{n-1}d_k=\frac{n-1}{4},$ ゆえに $a_n=(n+1)2^{n-2}$ 。

この問題で使う考え方

漸化式の偶奇分離
階差数列
定義した数列の漸化式と初項
望ましい差を定義して望遠和

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